hdu 4279"Number"（数论）

传送门

 

参考资料：

　　[1]:https://www.2cto.com/kf/201308/233613.html

 

题意，题解在上述参考资料中已经介绍的非常详细了，接下来的内容只是记录一下我的理解；

我的学习记录：

　　定义 f(x) : x的因子个数；

　　　　φ(x) : x之前与x互素的数的个数；

　　那么 F(x) = x - f(x) - φ(x) + 1;

　　为什么要 +1 呢？

　　因为 f(x) 和 φ(x) 同时包含 1 这个数，所以要加上多减去的 1；

　　根据算术基本定理：

　　　　任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积

　　　　　　N=P₁^a₁×P₂^a₂×P₃^a₃×......×P_n^a_n，这里P₁<P₂<P₃......<P_n均为质数，其中指数a_i是正整数。

　　那么，N的因子肯等为 x = P₁^b₁×P₂^b₂×P₃^b₃×......×P_n^b_n 这种形式，易知 b₁∈[0,a₁] , b₂∈[0,a₂] , ..... , b_n∈[0,a_n]，共

　　　　　　f(x) = (a₁+1)*(a₂+1)*........*(a_n+1)个因子；

　　如果要使 f(N) 为奇数，那么  (a₁+1),(a₂+1),........,(a_n+1) 要全部为奇数，也就是说  a_{1 ,} a_{2 ,}........,a_n 全为偶数，即 N 为完全平方数；

　　综上：

　　　　N为完全平方数时，f(N)为奇数；

　　　　N为非完全平方数时，f(N)为偶数；

　　接下俩就是求解φ(x)，这个是数论中比较重要的公式--欧拉公式；

　　定理1：

　　　　如果GCD(a,b) == 1，那么 φ(a*b) = φ(a)*φ(b);

　　定理2：

　　　　如果 p 为素数，那么 φ(p^k) = p^k-1*(p-1);

　　（相关证明自行百度，逃）；

　　定理3：

　　　　那么对于任意大于 2 的数 x = P₁^a₁×P₂^a₂×P₃^a₃×......×P_n^a_n， φ(x) 为偶数；

①如果p为奇数：
    根据公式 φ(p^k)=p^(k-1)*(p-1) 
    (p-1)一定为偶数，则 φ(p^k)为偶数，则 φ(x)为偶数；
②如果p为偶数：
    那么，p只能为2；
    如果k > 1，那么 φ(2^k)为偶数；
    如果k = 1，那么对于大于2的数x，一定会分解出除2的另一个质因子p2，
    根据①的得知φ(p2^k2)为偶数；
综上φ(x)为偶数；

　　综上所述：

　　　　当 x > 2 时：

　　　　①如果x为完全平方数，那么 F(x) = x - f(x) - ( φ(x) -1) = x - 奇数 - 奇数 = x - 偶数，只有当 x 为奇数时，F(x)为奇数；

　　　　②如果x为非完全平方数，那么 F(x) = x - f(x) - ( φ(x) -1) = x - 偶数 - 奇数 = x - 奇数，只有当 x 为偶数时，F(x)为奇数；

　　所以，[3,x] 中使得 F(i) 为奇数的个数 ⇔ [3,x]中 奇完全平方数+偶非完全平方数 = 偶数-偶完全平方数+奇完全平方数；

　　[3,x]中偶数的个数为 x/2 - 1 (减掉的是 2), 平方数个数为 sqrt(x)-1 (减掉的是 1)个;

　　如果 (sqrt(x)-1)%2 == 0（sqrt(x)为奇数），那么 偶完全平方数与奇完全平方数 个数相等，F(x) = x/2-1;

　　如果 (sqrt(x)-1)%2 ≠ 0（sqrt(x)为偶数），那么 偶完全平方数比奇完全平方数 个数多1，F(x) = x/2-1 -1;

AC代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long

ll n,m;

ll Solve(ll x)
{
    if(x < 3)
        return 0;
    ll tot=sqrt(x);
    if(tot*tot > x)//sqrt()函数存在精度问题，可能使得tot*tot > x
        tot--;
    ll ans=x/2-1;
    return ans+((tot%2 == 0)?-1:0);
}
int main()
{
    int test;
    scanf("%d",&test);
    while(test--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",Solve(m)-Solve(n-1));
    }
    return 0;
}