bzoj 4326: NOIP2015 运输计划（树链剖分+二分+差分 or 树上差分+LCA+二分）

解法一：树链剖分+二分+差分

　　树链剖分快速求解任意两点间的路径的权值和；

　　然后，二分答案；

　　此题的难点是如何快速求解重合路径？

　　差分数组可以否？？？

　　在此之前先介绍一下相关变量：

1 int fa[maxn];
2 int siz[maxn];//siz[i]:i子树的节点个数
3 int dep[maxn];//dep[i]:节点i在树中的深度
4 int son[maxn];//son[i]:节点i的重儿子
5 int w[maxn];//w[i]:i节点与其父节点的权值
6 int tid[maxn];//tid[i]:节点i的新编号
7 int top[maxn];//top[i]:节点i所在重链的祖先
8 int s[maxn];//s[i]:新编号中，[1,i]的权值之和，s[i]=w[1]+w[2]+...+w[i];

　　如何用差分数组求解重合路径呢？

　　考虑一下化简得题型，给定 n 个数；

　　给出 m 个区间 [L,R] ，如何求着 m 个区间公共覆盖的点？

　　例如 n = 10 , m = 4;

　　　　 [2,8],[3,7],[4,6],[5,6]

　　　　这四个区间得公共覆盖得区间点为 5,6；

　　定义diff[ ]为差分数组。

　　对于给出得区间[L,R] , diff[L]++,diff[R+1]--;

　　最后扫一遍diff[] ，求出diff[]得前缀和sum[]；

　　如果存在点 x 使得 sum[x] = m，那么点 x 就是这 m 个区间公共覆盖的点；

　　此题同理，求出不满足二分条件得 cnt 个区间[L,R]，通过diff[]求出这 cnt 个区间公共覆盖的点；

　　代码如下：

 1 int diff[maxn];
 2 void Update(int u,int v)
 3 {
 4     int x=top[u];
 5     int y=top[v];
 6     if(x == y)//如果 u,v 在同一条重链上
 7     {
 8         if(dep[u] > dep[v])
 9             swap(u,v);
10         //节点son[u]到节点v的新编号是连续的
11         diff[tid[son[u]]]++;
12         diff[tid[v]+1]--;
13         return ;
14     }
15     else//如果不在
16     {
17         if(dep[x] > dep[y])
18         {
19             swap(x,y);
20             swap(u,v);
21         }
22         //节点 top[v]与节点v的新编号是连续的
23         diff[tid[y]]++;
24         diff[tid[v]+1]--;
25         Update(u,fa[y]);
26     }
27 }

AC代码：

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 #define ls(x) (x<<1)
  7 #define rs(x) (x<<1|1)
  8 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
  9 const int maxn=3e5+50;
 10 
 11 int n,m;
 12 int fa[maxn];
 13 int siz[maxn];//siz[i]:i子树的节点个数
 14 int dep[maxn];
 15 int son[maxn];//son[i]:节点i的重儿子
 16 int w[maxn];//w[i]:i节点与其父节点的权值
 17 int tid[maxn];//tid[i]:节点i的新编号
 18 int top[maxn];//top[i]:节点i所在重链的祖先
 19 int s[maxn];//s[i]:新编号中，[1,i]的权值之和，s[i]=w[1]+w[2]+...+w[i];
 20 int num;
 21 int head[maxn];
 22 struct Edge
 23 {
 24     int to;
 25     int w;
 26     int next;
 27 }G[2*maxn];
 28 void addEdge(int u,int v,int w)
 29 {
 30     G[num].to=v;
 31     G[num].w=w;
 32     G[num].next=head[u];
 33     head[u]=num++;
 34 }
 35 struct Que
 36 {
 37     int u,v;
 38     int w;
 39 }que[maxn];
 40 void DFS1(int u,int f,int d)
 41 {
 42     fa[u]=f;
 43     dep[u]=d;
 44     siz[u]=1;
 45     for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
 46     {
 47         int v=G[i].to;
 48         if(v == f)
 49             continue;
 50 
 51         w[v]=G[i].w;
 52         DFS1(v,u,d+1);
 53 
 54         siz[u] += siz[v];
 55         if(son[u] == -1 || siz[v] > siz[son[u]])
 56             son[u]=v;
 57     }
 58 }
 59 void DFS2(int u,int a,int &k)
 60 {
 61     top[u]=a;
 62     tid[u]=++k;
 63     s[k]=s[k-1]+w[u];
 64     if(son[u] == -1)
 65         return ;
 66     DFS2(son[u],a,k);
 67     for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
 68     {
 69         int v=G[i].to;
 70         if(v != son[u] && v != fa[u])
 71             DFS2(v,v,k);
 72     }
 73 }
 74 int Find(int u,int v)//求解节点u到节点v的路径权值和
 75 {
 76     int x=top[u];
 77     int y=top[v];
 78     int ans=0;
 79 
 80     while(x != y)
 81     {
 82         if(dep[x] > dep[y])
 83         {
 84             swap(u,v);
 85             swap(x,y);
 86         }
 87         ans += s[tid[v]]-s[tid[y]-1];
 88         v=fa[y];
 89         y=top[v];
 90     }
 91     if(u != v)
 92     {
 93         if(dep[u] > dep[v])
 94             swap(u,v);
 95         ans += s[tid[v]]-s[tid[u]];
 96     }
 97 
 98     return ans;
 99 }
100 
101 int diff[maxn];
102 void Update(int u,int v)
103 {
104     int x=top[u];
105     int y=top[v];
106     if(x == y)//如果 u,v 在同一条重链上
107     {
108         if(dep[u] > dep[v])
109             swap(u,v);
110         //节点son[u]到节点v的新编号是连续的
111         diff[tid[son[u]]]++;
112         diff[tid[v]+1]--;
113         return ;
114     }
115     else//如果不在
116     {
117         if(dep[x] > dep[y])
118         {
119             swap(x,y);
120             swap(u,v);
121         }
122         //节点 top[v]与节点v的新编号是连续的
123         diff[tid[y]]++;
124         diff[tid[v]+1]--;
125         Update(u,fa[y]);
126     }
127 }
128 /**
129     cnt:一共有cnt个权值和 > mid
130     ans1:这cnt个权值和最大的比mid大多少
131     ans2:这cnt个路径中权值最大的公共路径
132 */
133 bool Check(int mid)
134 {
135     int cnt=0;
136     int ans1=0;
137     for(int i=1;i <= m;++i)
138     {
139         int u=que[i].u;
140         int v=que[i].v;
141         if(que[i].w > mid)
142         {
143             cnt++;
144             ans1=max(ans1,que[i].w-mid);
145             Update(u,v);
146         }
147     }
148     int ans2=0;
149     int tot=0;
150     for(int i=1;i <= n;++i)
151     {
152         tot += diff[i];
153         diff[i]=0;
154         if(tot == cnt)
155             ans2=max(ans2,s[i]-s[i-1]);
156     }
157     //只有ans2 >= ans1 才能够使最大的权值和小于等于mid
158     return ans2 >= ans1;
159 }
160 int Solve()
161 {
162     DFS1(1,1,1);
163     int k=0;
164     DFS2(1,1,k);
165 
166     for(int i=1;i <= m;++i)
167     {
168         int u=que[i].u;
169         int v=que[i].v;
170         que[i].w=Find(u,v);
171     }
172 
173     int l=-1,r=300000000+50;
174     while(r-l > 1)//二分答案
175     {
176         int mid=l+((r-l)>>1);
177         if(Check(mid))
178             r=mid;
179         else
180             l=mid;
181     }
182     return r;
183 }
184 void Init()
185 {
186     num=0;
187     mem(head,-1);
188     mem(diff,0);
189     mem(son,-1);
190     mem(s,0);
191 }
192 int main()
193 {
194 //    freopen("C:\\Users\\hyacinthLJP\\Desktop\\in&&out\\BZOJ\\4326.in","r",stdin);
195     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
196     {
197         Init();
198         for(int i=1;i < n;++i)
199         {
200             int u,v,w;
201             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
202             addEdge(u,v,w);
203             addEdge(v,u,w);
204         }
205         for(int i=1;i <= m;++i)
206             scanf("%d%d",&que[i].u,&que[i].v);
207 
208         printf("%d\n",Solve());
209     }
210     return 0;
211 }

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解法二：树上差分+LCA+二分

　　差分详解，戳这里👉

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
  4 const int maxn=3e5+50;
  5 
  6 int n,m;
  7 int num;
  8 int head[maxn];
  9 struct Edge
 10 {
 11     int to;
 12     int next;
 13     int w;
 14 }G[maxn<<1];
 15 void addEdge(int u,int v,int w)
 16 {
 17     G[num]=Edge{v,head[u],w};
 18     head[u]=num++;
 19 }
 20 int t[maxn];///t[u]:u与其父节点的权值
 21 int dis[maxn];///dis[u]:u距根节点1的路径权值和
 22 struct LCA
 23 {
 24     int cnt;
 25     int dep[maxn<<1];
 26     int vs[maxn<<1];
 27     int pos[maxn];
 28     int dp[maxn<<1][30];
 29     int lb[maxn<<1];
 30 
 31     void DFS(int u,int f,int d,int dist)
 32     {
 33         vs[++cnt]=u;
 34         dep[cnt]=d;
 35         pos[u]=cnt;
 36         dis[u]=dist;
 37         for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
 38         {
 39             int v=G[i].to;
 40             int w=G[i].w;
 41             if(v == f)
 42                 continue;
 43             t[v]=w;
 44             DFS(v,u,d+1,dist+w);
 45 
 46             vs[++cnt]=u;
 47             dep[cnt]=d;
 48         }
 49     }
 50     void ST()
 51     {
 52         lb[0]=-1;
 53         for(int i=1;i <= cnt;++i)
 54         {
 55             dp[i][0]=i;
 56             lb[i]=lb[i-1]+((i&(i-1)) == 0 ? 1:0);
 57         }
 58         for(int k=1;k <= lb[cnt];++k)
 59             for(int i=1;i+(1<<k)-1 <= cnt;++i)
 60                 if(dep[dp[i][k-1]] > dep[dp[i+(1<<(k-1))][k-1]])
 61                     dp[i][k]=dp[i+(1<<(k-1))][k-1];
 62                 else
 63                     dp[i][k]=dp[i][k-1];
 64     }
 65     void lcaInit()
 66     {
 67         cnt=0;
 68         DFS(1,1,0,0);
 69         ST();
 70     }
 71     int lca(int u,int v)
 72     {
 73         u=pos[u];
 74         v=pos[v];
 75         if(u > v)
 76             swap(u,v);
 77         int k=lb[v-u+1];
 78         if(dep[dp[u][k]] > dep[dp[v-(1<<k)+1][k]])
 79             return vs[dp[v-(1<<k)+1][k]];
 80         else
 81             return vs[dp[u][k]];
 82     }
 83     void debug()
 84     {
 85         printf("  i:");
 86         for(int i=1;i <= cnt;++i)
 87             printf(" %2d",i);
 88         printf("\n");
 89         printf(" vs:");
 90         for(int i=1;i <= cnt;++i)
 91             printf(" %2d",vs[i]);
 92         printf("\n");
 93         printf("dep:");
 94         for(int i=1;i <= cnt;++i)
 95             printf(" %2d",dep[i]);
 96         printf("\n");
 97         printf("pos:");
 98         for(int i=1;i <= n;++i)
 99             printf(" %2d",pos[i]);
100         printf("\n");
101         printf("log:");
102         for(int i=1;i <= cnt;++i)
103             printf(" %2d",lb[i]);
104         printf("\n");
105     }
106 }_lca;
107 struct Que
108 {
109     int u,v,w;
110 }que[maxn];
111 int diff[maxn];
112 void DFS(int u,int f)
113 {
114     for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
115     {
116         int v=G[i].to;
117         if(v == f)
118             continue;
119         DFS(v,u);
120 
121         diff[u] += diff[v];
122     }
123 
124 }
125 bool Check(int mid)
126 {
127     mem(diff,0);
128     int cnt=0;
129     int need=0;
130     for(int i=1;i <= m;++i)
131     {
132         if(que[i].w <= mid)
133             continue;
134         int u=que[i].u;
135         int v=que[i].v;
136         int lca=_lca.lca(u,v);
137         diff[u]++;
138         diff[v]++;
139         diff[lca] -= 2;
140         cnt++;
141         need=max(need,que[i].w-mid);
142     }
143     DFS(1,1);
144 
145     for(int i=1;i <= n;++i)
146     {
147         if(diff[i] != cnt)
148             continue;
149         if(t[i] >= need)
150             return true;
151     }
152     return false;
153 }
154 int Solve()
155 {
156     _lca.lcaInit();
157 //    _lca.debug();
158     for(int i=1;i <= m;++i)
159     {
160         int u,v,w;
161         scanf("%d%d",&u,&v);
162         w=dis[u]+dis[v]-2*dis[_lca.lca(u,v)];
163         que[i]=Que{u,v,w};
164 //        printf("(%d,%d),lca=%d,%d\n",u,v,_lca.lca(u,v),w);
165     }
166 
167     int l=-1,r=(int)3e8+50;
168     while(r-l > 1)
169     {
170         int mid=l+((r-l)>>1);
171         if(Check(mid))
172             r=mid;
173         else
174             l=mid;
175     }
176     return r;
177 }
178 void Init()
179 {
180     num=0;
181     mem(head,-1);
182 }
183 int main()
184 {
185 //    freopen("C:\\Users\\hyacinthLJP\\Desktop\\in&&out\\contest","r",stdin);
186     scanf("%d%d",&n,&m);
187     Init();
188     for(int i=1;i < n;++i)
189     {
190         int u,v,w;
191         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
192         addEdge(u,v,w);
193         addEdge(v,u,w);
194     }
195     printf("%d\n",Solve());
196 
197     return 0;
198 }

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posted @ 2019-03-28 19:20 HHHyacinth 阅读(155) 评论(0) 编辑收藏举报

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