动态规划-有关计数问题的DP-多重集组合数

参考资料：

　　[1]:挑战程序设计竞赛（第二版）

自学笔记：

　　1.对书中变形公式“dp[ i ][ j ]=dp[ i ][ j-1 ]+dp[ i-1][ j ]-dp[ i-1][ j-1-a[i] ]”的理解

　　首先看一下暴力的解法：

　　　　设dp[i][j]表示从前i个物品中取出j个的总组合数；

　　　　易得状态转移方程为：dp[ i ][ j ]=∑^{min(a[i], j)}_k=0 dp[ i-1][ j-k];

　　　　根据状态转移方程很容易得出dp[ i ][ j-1 ]=∑^{min(a[i], j-1)}_k=0 dp[ i-1][ j-1-k ];

mem(dp,0);
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i <= n;++i)
    for(int j=0;j <= m;++j)
        for(int k=0;k <= min(a[i],j);++k)//第i个物品取k个
            dp[i][j] += dp[i-1][j-k];

　　　　①如果a[i] > j-1,那么k的取值为[0,j-1],那么dp[ i ][ j-1]=dp[ i-1 ][ j-1]+dp[ i-1 ][ j-1-1]+.......+dp[ i-1 ][0]，如图紫框所示

　　　　　因为a[i] > j-1,所以a[i] >= j,此时k的取值为[ 0,j ],也就是说dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ]+d[ i-1 ][ j-1]+.......+dp[ i-1 ][0]，如图红框所示

　　　　

　　　　　此时，你会发现红框与紫框在[0,j-1]处是完全重合的，也就是说dp[ i ][ j ]=dp[ i ][ j-1]+d[ i-1 ][ j ];

　　　　②如果a[i] <= j-1,那此时k的取值为[0,a[i] ],那么dp[ i ][ j-1]=dp[ i-1 ][ j-1 ]+dp[ i-1 ][ j-2 ]+.......+dp[ i-1 ][ j-1-a[i] ]，如图紫框所示

　　　　　因为a[i] <= j-1,所以a[i] < j,此时k的取值为[ 0,a[i] ],也就是说dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ]+d[ i-1 ][ j-1]+.......+dp[ i-1 ][ j-a[i] ]，如图红框所示

　　　　( X = j-1-a[i] )

　　　　 在这种情况下，红框与紫框也有一部分是重合的，根据图示很容易得出dp[ i ][ j ]=dp[ i ][ j-1 ]+dp[ i-1 ][ j ]-dp[ i-1 ][ j-1-a[i] ];

　　　　所以，综上所述

void Solve()
{
    mem(dp,0);
    for(int i=1;i <= n;++i)
        dp[i][0]=1;//一个都不取的方法只有一种
    for(int i=1;i <= n;++i)
        for(int j=1;j <= m;++j)
            if(a[i] < j-1)//情况①
                dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
            else//情况②
                dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];
}