动态规划-有关计数问题的DP-n的m划分

•参考资料

　　[1]:挑战程序设计竞赛（第二版）

　　[2]:http://www.hankcs.com/program/m-n-recursive-division.html(注意看评论)

•自学笔记

•对参考资料[2]的理解

定义dp[ i ][ j ] : 将 j 个物品划分成 i 组的总方案数

•1.对“我们定义 n 的 m 划分具体为一个集合{a_i}，{a_i}满足( ∑^m_i=1 a_i ) = n” 的理解

例如 :

　　4的1划分的集合为{4};

　　4的2划分的集合为{0,4},{1,3},{2,2};

　　4的3划分的集合为{0,0,4},{0,1,3},{0,2,2},{1,1,2};

　　4的4划分的集合为{0,0,0,4},{0,0,1,3},{0,0,2,2},{0,1,1,2},{1,1,1,1};

•2.对“不存在某个a_i=0”的理解

例如：

　　对于4的3划分有{0,0,4},{0,1,3},{0,2,2},{1,1,2};

　　{a₁,a₂,a₃}分别代表4个物品划分为3组中第1组，第2组，第3组的物品个数，且a₁+a₂+a₃=4，共4个不重复的划分方案数;

　　对于第一组的a₁=0,a₂=0表示第一组，第二组分到的物品个数为0，但总体还是划分成了三组。

　　那，如果“将4的3划分中的每个方案中的a1,a2,a3个数都分别 +1呢”？

　　即第一组的a₁,a₂,a₃分别+1，第二组，第三组，第四组同理。

　　集合将变为{1,1,5},{1,2,4},{1,3,3},{2,2,3};

　　算一下加和a₁+a₂+a₃=7,这就是7的3划分中不含有某个a_i=0的总方案数；

　　因为保证了4的3划分中不重复，所以每个数都+1后,各个方案也保证不重复。

　　这就是参考资料[2]中当前j的i划分不存在某个a_i=0的总方案数。

•3.对“存在某个a_i=0”的理解

　　上述7的3划分中不存在a_i=0的总方案数已经解决了，接下来该解决含有a_i=0的总方案数了。

　　7的2划分方案为{0,7},{1,6},{2,5},{3,4}共4个不重复的方案数；

　　如果在每个方案数中都加一组0，即{0,7,0},{1,6,0},{2,5,0},{3,4,0}那不就变成了7的3划分了吗？

　　这不就是所要求的含有 a_i=0 的7的3划分的总方案数吗？　　

　　所以，综上所述：

　　7的3划分的总方案数=7的3划分中不含有a_i=0的总方案数+7的3划分中含有a_i=0的总方案数；

　　也就是dp[3][7]=dp[2][7]+dp[3][4];

　　故状态转移方程为：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i];