基于ST表格的RMQ

 

•参考资料

　　[1]:http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/

 

•前言

　　RMQ(Range Minimum/Maximum Query)，即区间最值查询。

　　假设需要查询的区间为[a,b]，对于此问题，有三种方法可以得到答案：

　　(1):暴力

　　(2):线段树

　　(3):ST(Sparse Table)算法

•我对ST算法的理解

　　ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

　　(1):首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

　　设a[i]是要求区间最值的数列，dp[ i ][ j ]表示从第 j 个数起连续2ⁱ个数中的最大值。

　　例如数列:

　　　 i: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　a[i]: 3 2 4 5 6 8 1 2 9

　　dp[0][1]表示自第1个数起，长度为2⁰=1的最大值，其实就是3这个数。

　　dp[0][2]表示自第2个数起，长度为2⁰=1的最大值，其实就是2这个数。

　　............

　　dp[0][9]表示自第9个数起，长度为2⁰=1的最大值，其实就是9这个数。

　　dp[1][1]=3,dp[1][2]=4,..........

　　从这里可以看出dp[0][ i ]其实就等于a[i]。

　　这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

　　我们把dp[ i ][ j ]平均分成两段（因为dp[ i ][ j ]一定是偶数个数字(2ⁱ 个) ），前 2^i-1 个数字为一段，后 2^i-1 个数字为一段。

　　即将区间[ j ,j+2ⁱ-1] 分成了区间[ j ,j+2^i-1-1]和区间[ j+2^i-1 , j+2ⁱ-1]，且各含有 2^i-1 个数

　　用上例说明，当i=3，j=1时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。

　　dp[ i ][ j ]就是这两段的最大值中的最大值。

　　于是我们得到了动态规划方程dp[ i ][ j ]=max( dp[i-1][ j ],dp[i-1][ j+2^(i-1)] );

　　(2):然后是查询，查询区间[a,b]的最大值。

　　区间[a,b]上共有(b-a+1)个数，满足2^k ≤ (b-a+1)的最大的k为：k=log₂(b-a+1)（以 2 为底，(b-a+1)的对数）

　　但在 c 语言的<math.h>中也含有log()，不过是以 e 为底的，故需要将上述以2为底的对数变一下形，根据换底公式有 log₂(b-a+1)=ln(b-a+1)/ln(2)；

　　转化成c语言语法 k = log(b-a+1)/log(2)，而从 (a 开始的前 2^k 个数 + 从 b 开始的后 2^k 个数)一定包含了[a,b]区间的所有数。

　　所以 max( [a,b] ) = max( dp[k][a] , dp[k][b-2^k+1] );

•Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int n;//共 n 个数，此处 n = 9
int a[10]={0,3,2,4,5,6,8,1,2,9};//下标从 1 开始
struct Node
{
    int dp[4][10];//从 1 开始，最多向后连续9个数，而 2^4 > 9，故此处第一个参数为 4 足矣
    void Preset()//预处理出从第 i 个数开始连续 1 个数的dp[][]值，也就是 a[i]本身
    {
        for(int i=1;i <= 9;++i)
            dp[0][i]=a[i];
    }
    void ST()//处理出 ST 表
    {
        for(int i=1;i < 4;++i)
            for(int j=1;j <= (n-(1<<i)+1);++j)//n-(1<<i)+1之后位置的数向后没会有 2^i 个数，所以需要满足 j<=(n-(1<<i)+1)，确保位置 j 及其之后的位置含有 2^i 个数
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j+(1<<(i-1))]);//区间[j,j+2^i-1]被分割成了个数相等的两部分，并从中取最大值
    }
    int RMQ(int a,int b)//区间[a,b]最大值查询
    {
        if(a > b)
            swap(a,b);
        int k=log(b-a+1)/log(2);
        return max(dp[k][a],dp[k][b-(1<<k)+1]);
    }
}_rmq;
int main()
{
    int a,b;
    n=9;
    while(scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        _rmq.Preset();
        _rmq.ST();
        printf("%d\n",_rmq.RMQ(a,b));
    }
    return 0;
}

•预处理log₂()的技巧

　　log₂[(1000)₂] = 3;

　　log₂[(100)₂] = 2 , log₂[(101)₂] = 2 , log₂[(110)₂] = 2 , log₂[(111)₂] = 2；

　　发现没，(111)₂是三位二进制数的最大值，其与四位二进制数的最小值(1000)₂相与的结果等于0；

　　而(111)₂与任意一个三位二进制数相与，结果都不为0；

　　所以，定义lb[ i ] 表示log₂(i)的结果；

lb[0]=-1;
for(int i=1;i < maxn;++i)
    lb[i]=lb[i-1]+((i&(i-1)) == 0 ? 1:0);