初始二次剩余

 

参考资料：

　　[1]:[数论]二次剩余及计算方法

 

 

模为奇素数的二次剩余

•知识支持

　　二次同余方程的一般形式：

　　　　$ax^2+bx+c \equiv 0\ (mod\ p)_{\cdots\cdots\cdots\cdots}(1)$;

　　以下恒定 p 为奇素数，并且 a%p ≠ 0；

　　那么 (1)式 可转化为：

　　　　$4a(ax^2+bx+c) \equiv 0\ (mod\ p)_{\cdots\cdots\cdots\cdots}(2)$;

　　即：

　　　　$(2ax+b)^{2} \equiv b^{2}-4ac\ (mod\ p)_{\cdots\cdots\cdots}(3)$;

　　不妨令 $x=(2ax+b)\ ,\ d=b^{2}-4ac$，那么 (3)式 就转化为：

　　　　$x^{2} \equiv d\ (mod\ p)_{\cdots\cdots\cdots}(4)$;

•二次剩余与二次非剩余及其判断方法

　　设素数 p > 2，d 为整数，且 d%p ≠ 0；

　　如果同余方程 (4) 有解，则称 d 是模 p 的二次剩余；

　　反之，则称 d 是模 p 的二次非剩余；

　　Euler判别法：

　　d 是模 p 的二次剩余的充要条件为：$d^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \ (mod\ p)$;

　　d 是模 p 的二次非剩余的充要条件为：$d^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \ (mod\ p)$;

•求解

　　以下假设 d 为模 p 的二次剩余，即 $d^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \ (mod\ p)$;

　　首先设 $p-1=2^{t}\cdot s$，其中 s 为奇数；

　　1.当 t = 1 时：

　　　　显然有 $d^{s+1}\equiv d \ (mod\ p)$;

　　　　即 $x^2 \equiv d^{s+1} \ (mod\ p)$;

　　　　那么 $x \equiv d^{\frac{s+1}{2}} \ (mod\ p)$;

　　　　因为 s 为奇数，所以 $\frac{s+1}{2}$ 为整数；

　　　　推荐习题：2019牛客多校第九场B

　　2.当 t > 1 时：

　　　　待补；