初始线性基
•参考资料
[1]:百度百科
[2]:算法 | 线性基学习笔记
[4]:异或线性基分析
•学习历程
- 通过资料[1]，明白了线性基的用途
- 通过资料[2]，掌握了线性基的构造、查询、合并
- 大致掌握后，做了做相关习题 BZOJ 2460 并参阅了资料[3]
- 看到这道题 CF 1100F 时，写了个线性基+线段树的代码，TLE，不过学会了如何让线性基与线段树结合
- 之后，便是疯狂的找题解，终于，看到了这篇--资料[4]，有关线性基的分析写的很好，让我深入理解了线性基的构造，查询
- 结合着资料[4],[5]顺利AC这道题
•习题集锦
线性基进阶--线性基求交
•参考资料
[1]:线性基求交
[2]:2019牛客多校第四场题解
[3]:线性基求交
[4]:线性基学习笔记
•备注
以下解析摘抄自资料[4]，博主讲解的很明白，tql；
•何为线性基的交？
假设求交的对象是两组线性基 $A,B$
求线性基交，是指求一组新的线性基 $C$，使得任意能被 $C$ 表示的数都能被线性基 $A,B$ 表示；
且不能被 $C$ 表示的数也不能被线性基 $A,B$ 同时表示；
•引理
设线性基 $A$ 所对应的线性空间为 $V_A$（就是 $A$ 能表示的所有数的集合），线性基 $B$ 所对应的线性空间为 $V_B$；
令 $W=V_A\cap B$（即 $W$ 是线性基 $B$ 中能被 $A$ 表示的基向量的集合）
则有定理：若 $A\cup (B-W)$ 线性无关，那么 $W$ 就是我们所想求的 $A,B$ 的线性基交；
•引理的图解证明
$A\cup (B-W)$ 线性无关，也就是说 基$B-W$ 对应的线性空间与 基$A$ 对应的线性空间没有交集；
也就是 基$B-W$ 对应的线性空间为上图紫色区域，那么，基$W$ 对应的线性空间就为 $V_A\cap V_B$ 所对应的区域；
•解的可行性
但是我们不能保证对于线性空间 $V_B$ 的任意一组线性基 $B$，都有 $A\cup (B\setminus W)$ 线性无关；
比如，想对 $A=\{5\},B=\{1,4\}$ 求线性基交，显然结果是 $C=\{5\}$；
但是按照上述解法，令 $W=V_A\cap B = \phi$，$A\cup (B-W) = \{1,4,5\}$ 线性相关，所以此时求解的 基$W$ 并非答案；
于是我们所需要做的，就是调整出一组线性基 $B'$（记 $W'=V_A\cap B'$），使得 $A\cup (B'- W')$ 线性无关；
还是上面的例子，我们可以调整出 $B'=\{1,5\}$，这样一来线性空间 $V_B$ 不变，同时能顺利求出线性基交 $C$；
•实现流程
我们可以动态地维护一个线性基 $all$，$all=A\cup (B'-W')$；
表示尝试插入当前 $B$ 中基向量 $B_i$ 后，$A\cup (B'- W')$ 所对应的线性基；
初始，$all=A\ ,\ B'=\phi \ ,\ W'=\phi$；
我们依次将 $B$ 中的基向量尝试插到 $all$ 中（从高位到低位、从低位到高位皆可），假设当前插入 $B_i$：
1. $B_i$ 能够插进$all$中，这意味着 $B_i$ 与当前的 $all$ 线性无关，那么显然 $B_i\notin W'$，$B_i \in B'$；
2. $B_i$ 不能插进$all$中，这意味着 $B_i$ 可以通过 $all$ 表示，那么 $B_i \notin all$;
并需要进行调整、使得调整后的 $B_i \in W'$；
(1) 若 $B_i$ 只用 $A$ 即可表示，那么无需调整，$B_i \in W'$；
(2) 若 $B_i$ 需要 $A$ 及 $B'_{p_1},B'_{p_2},...,B'_{p_m}$ 才能表示；
那么我们考虑 $u=B_i\ xor\ B'_{p_1}\ xor\ ...\ xor\ B'_{p_m}$；
显然，这时 $u$ 只用 $A$ 就可以表示了；
经过这样的调整后，就有 $u \in W$；
•Code
