求无向连通图的割点
参考资料：
[1]: 【图论】求无向连通图的割点
[2] : 深度优先生成树及其应用
1.割点与联通度
在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。
一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。
若在连通图上至少删去 k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。
2.简单的例子
（图a） （图b) （图c）
图a为重联通图，图b为非重联通图；
图b的割点为 C,D；
3.高效求解割点的方法
在介绍算法之前，先介绍几个基本概念
- DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(c)所示，（以图b的A为根节点）。
- 树边：（也称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点 时所经过的边。
- 回边：（也称为返祖边、后向边），在搜索树中的 虚线 所示，可理解为在DFS过程中遇到 已访问节点 时所经过的边。
该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：
- 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点 u 为割点；
- 对非叶子节点 u（非根节点），若其子树的节点均没有指向 u 的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。
对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。
我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小）；
那么low[u]的计算过程如下：
对于情况2，当(u,v)为树边且 low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。
该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为 v 要么为 u。
参考代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 6 const int maxn=1e3+50; 7 8 int n,m; 9 int fa[maxn]; 10 int dfn[maxn]; 11 int low[maxn]; 12 int root; 13 bool vis[maxn]; 14 bool artPoint[maxn];//判断节点i是否为割点 15 int num; 16 int head[maxn]; 17 struct Edge 18 { 19 int to; 20 int next; 21 }G[2*maxn]; 22 void addEdge(int u,int v) 23 { 24 G[num].to=v; 25 G[num].next=head[u]; 26 head[u]=num++; 27 } 28 29 void DFS(int u,int f,int &k,int &rootSon) 30 { 31 fa[u]=f; 32 vis[u]=true; 33 dfn[u]=low[u]=++k; 34 if(f == root) 35 rootSon++; 36 for(int i=head[u];~i;i=G[i].next) 37 { 38 int v=G[i].to; 39 if(!vis[v])//父子边 40 { 41 DFS(v,u,k,rootSon); 42 43 if(low[v] >= dfn[u] && u != root) 44 artPoint[u]=true; 45 46 low[u]=min(low[u],low[v]); 47 } 48 else if(fa[u] != v)//返祖边 49 low[u]=min(low[u],dfn[v]); 50 } 51 } 52 int Solve() 53 { 54 int k=0; 55 root=1;//以任意合法的节点为根节点都可以 56 int rootSon=0;//根节点的儿子个数 57 DFS(root,-1,k,rootSon); 58 59 int ans=0; 60 for(int i=1;i <= n;++i) 61 ans += artPoint[i] ? 1:0; 62 ans += rootSon >= 2 ? 1:0; 63 return ans; 64 } 65 void Init() 66 { 67 num=0; 68 mem(head,-1); 69 mem(vis,false); 70 mem(artPoint,false); 71 } 72 int main() 73 { 74 //n个节点，m条边 75 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 76 { 77 Init(); 78 for(int i=1;i <= m;++i) 79 { 80 int u,v; 81 scanf("%d%d",&u,&v); 82 addEdge(u,v); 83 addEdge(v,u); 84 } 85 printf("此图的割点个数为：%d\n",Solve()); 86 } 87 return 0; 88 }
以上内容全部参考自大佬博客，下面谈谈我的心得：
1.问法不同，定义的变量artPoint的状态就不同
[1]:如果题目求得是割点的个数或者只让求出那些点是割点，那么，artPoint定义成bool型的就可以了。
[2]:如果题目让求出删除某个割点所形成的联通子图的数量呢？这该怎么做呢？（poj 1523"SPF"）
答案是将artPoint定义成int型的，然后，将44行的语句 artPoint[u]=true 改成 artPoint[u]++即可，对于非根节点的割点 u ，将
其删去后，会形成 artPoint[ u ]+1个联通子图。
为什么这么做会对呢？
对于这么一个图a
图a 图b
其形成的深度优先生成树为图b；
显然，artPoint[3]=3，artPoint[3]+1就是将割点3删去后的联通子图的个数，那，如果④和⑤有边相连呢（图c）？
图c 图d
根据深度优先生成树的顺序，假设③节点先来到④节点，那么接下来的操作一定为DFS(4,5,k,rootSon)，那么形成的深度优先生成树为图d；
那么，当来到节点④时，由于low[5] < dfn[4]所以④不再是割点，那么最后求出的artPoint[3]=3；
artPoint[3]+1还是删去割点3后形成的联通子图的个数。
2.求解任意两点间的割点个数呢？（[蓝桥杯][2013年第四届真题]危险系数）
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