数论四大定理

 基础知识详见https://www.cnblogs.com/violet-acmer/articles/10447130.html

 

（1）威尔逊定理

　　设 p 是素数， r₁,r₂,....,r_p-1 是模 p 的既约剩余系，有

　　　　　　r₁*r₂*........*r_p-1 ≡ -1(mod p).

　　特别的，有

　　　　　　(p-1)! ≡ -1(mod p).

 　　证明：

　　　　文档链接：https://pan.baidu.com/s/1OGwIs6B-aquWNGYiVy8Kyw 

　　　　提取码：osgx 

 

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（2）费马小定理

　　设 p 是素数，a 是一个整数，那么 a^p-a 是 p 的倍数，可表示为

　　　　　　a^p ≡ a (mod p).

　　如果 a 不是 p 的倍数，这个定理可写成

　　　　　　a^p-1 ≡ 1 (mod p).

　　证明：

　　　　文档链接：https://pan.baidu.com/s/1renHeX8arWfseuG8Fme9mA 

　　　　提取码：nvd7

 

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（3）欧拉定理

　　设 p,a 为正整数，且Gcd(p,a) = 1，则

　　　　　　a^φ(p) ≡ 1 (mod p).

 　　证明：

　　　　文档链接：https://pan.baidu.com/s/1n75yEl_70P_pbQY57OD42Q
　　　　提取码：no06

 

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（4）中国剩余定理（也称作孙子定理）

　　设 m₁,m₂,m₃,.......,m_k 是两两互素的正整数，那么，对于任意整数 a₁,a₂,......,a_k，一次同余方程组 

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　x ≡ a₁(mod m₁)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　x ≡ a₂(mod m₂)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　................

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x ≡ a_k(mod m_k)

　　有模 m₁*m₂*m₃*.......*m_k 的唯一解。

　　设 m=m₁*m₂*m₃*.......*m_k , n_i=m/m_i , n_i*n_i^-1 ≡ a_i (mod m_i) （n_i^-1称为n_i的逆元）

　　x=a₁*n₁*n₁^-1+a₂*n₂*n₂^-1+.........+a_k*n_k*n_k^-1;