同余方程和同余方程组

（1）知识支持：

　　定义1：（何为同余？）

　　　　设 m ≠ 0，若 m | a-b，即 a-b = km，则称 m 为模，a 同余于 b 模 m ，b 是 a 对模 m 的剩余，记作

　　　　　　　　　　a ≡ b (mod m)；

　　　　因为 m | a-b = (-m) | a-b，所以以后总假设 m ≥ 1。

　　定义2：（何为逆元）

　　　　给定整数 a,m，且 Gcd(a,m)=1，存在一个整数 x 使得同余式 ax ≡ 1 (mod m)成立，x 称作 a 模 m 的逆元，记作 a^-1。

　　定义3：（何为完全剩余系）

　　　　一组数 y₁,y₂,.....y_m 称为模 m 的完全剩余系，当且仅当对任意的整数 a 有且仅有一个 y_j 使得同余式 a ≡ y_j (mod m)成立。

　　　　简言之，对于任意 i,j ∈ [1,m],且i ≠ j，有 m%y_i ≠ m%y_j。

　　定义4：（何为既约剩余系）

　　　　模 m 的既约剩余系是 m 的完全剩余系中与 m 互素的数构成的子集，模 m 的既约剩余系的个数记为 φ(m)。

　　　　例如， m = 10，φ(10) = 4，集合 { 1,3,7,9 } 中的每个元素与10互素，并且任何两个元素模 10 不同余， { 1,3,7,9 } 就成为模 m 的一个既约剩余系。

　　定理1：

　　　　如果集合 { r₁,r₂,.....,r_φ(n) } 是一个模 n 的既约剩余系，并且 Gcd(a,n) = 1，那么集合  { ar₁,ar₂,.....,ar_φ(n) }也是一个模 n 的既约剩余系。 

　　性质1：

　　　　· a+c ≡ b+c (mod m)；

　　　　· a-c ≡ b-c (mod m)；

　　　　· ac ≡ bc (mod m)；

　　性质2：

　　　　如果 ac ≡ bc (mod m) 那么 a ≡ b (mod m/(m,c) )。

　　　　证明如下：

　　　　

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（2）一元线性同余方程

　　定义1：

　　　　形如 ax ≡ b(mod m)的同余式被称为一元线性同余方程，其中 a,b 是整数，m 为正整数，x 为未知数。

　　定理1：

　　　　如果 Gcd(a,m) | b，则 ax ≡ b(mod m) 有 Gcd(a,m)个模 m 不同余的解，反之，无解。

　　证明：
　　　　ax ≡ b(mod m) 等价于 ax-b=my ，即 ax-my = b，由拓展欧几里得知方程 ax-my = b 有整数解

　　　　当且仅当 Gcd(a,m) | b；
　　　　假设(x₀,y₀)为 ax-my=b 的一组解，那么由拓展欧几里得知
　　　　x=x₀+k*(m / Gcd(a,m) )；
　　　　不妨设 x₁=x₀+k₁*(m / Gcd(a,m) ) , x₂=x₀+k₂*(m / Gcd(a,m) )；
　　　　如果x₁ ≡ x₂(mod m)，那么有
　　　　k₁*(m / Gcd(a,m) ) ≡ k₂*(m / Gcd(a,m) ) (mod m)；

　　　　假设 d=m/Gcd(a,m)，那么有
　　　　k₁ ≡ k₂(mod m / Gcd( d,m) )；
　　　　而 Gcd(d,m) = d，所以 m / Gcd(d,m) = m / d = Gcd(a,m)；
　　　　因此 k₁ ≡ k₂(mod Gcd(a,m) )；
　　　　所以 ax ≡ b(mod m) 有Gcd(a,m)个模m不同余的解，其解为
　　　　x=x₀+k*(m / Gcd(a,m) );

　　　　(k取0,1,2,....,Gcd(a,m)-1)