初等数论基础知识

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参考文献：

　　[1]:初等数论（第三版）（ 潘承洞 潘承彪 著）

文章一览：

　　第一章：整除理论

2. 整除的基本知识
3. 带余数除法
4. 最大公约数理论
5. 最大公约数与最小公倍数
6. 算术基本定理

　　第三章：同余的基本知识

1. 同余的定义及基本性质
2. 同余类与剩余系
3. Euler函数φ(m)的求解

 

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 第一章：整除理论

(2)整除的基本知识

　　定义1：

　　　　设 a,b ∈ Z , a ≠ 0，如果存在 q ∈ Z , 使得 b=aq，那么就说 b 可被 a 整除，记作 b | a，且称 b 是 a 的倍数，

　　　　a 是 b 的约数。

　　定理1：

　　　　a | b <=> -a | b <=> a | -b <=> |a| | |b|。

(3)带余数除法

　　定理1：

　　　　设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足

　　　　　　　　　　b = aq + r，0 ≤ r < |a|。

　　定理2：

　　　　设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，再设 d 是一给定的整数，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足

　　　　　　　　　　b = aq + r，d ≤ r < |a|+d。

(4)最大公约数理论

　　定理5：

　　　　设 GCD(m,a) = 1，则有 GCD(m,ab) = GCD(m,b)，这就是说“求 m 与另一个数的最大公约数时，可以把另一个数中与 m 互素的因数去掉”。

　　定理6：

　　　　设 GCD(m,a) = 1，那么若 m | ab，则 m | b，这就是说“若一个数被 m 整除，则把这个数中与 m 互素的因数去掉后仍被 m 整除”。

　　定理7：

　　　　LCM[ a,b ] × GCD(a,b) = |ab|。

　　定理8：

　　　　GCD(a,b) = GCD(a,b-a) = GCD(b,b-a)。

　　　　相关习题：戳这里👉

(5)最大公约数与最小公倍数

　　(a,b) = a 与 b 的最大公约数。

　　[a,b] =  a 与 b 的最小公倍数。

　　定理1：

　　　　GCD(a,b) = GCD(-a,b) = GCD(a,-b) = GCD( |a| , |b| )。

　　定理2：

　　　　LCM[a,b] = LCM[-a,b] = LCM[a,-b] = LCM[ |a| , |b| ]。 

 

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第三章：同余的基本知识

(1)同余的定义及基本性质

　　定义1：

　　　　设 m ≠ 0，若 m | a-b，即 a-b = km，则称 m 为模，a 同余于 b 模 m ，b 是 a 对模 m 的剩余，记作

　　　　　　　　　　a ≡ b (mod m)；

　　　　因为 m | a-b = (-m) | a-b，所以以后总假设 m ≥ 1。

　　性质1：

　　　　· a+c ≡ b+c (mod m)；

　　　　· a-c ≡ b-c (mod m)；

　　　　· a*c ≡ b*c (mod m)；

　　性质2：

　　　　如果 ac ≡ bc (mod m) 那么 a ≡ b (mod m div GCD(m,c) )。

　　　　证明如下：

　　　　

　　由同余定理，模运算规则如下：

　　

　　　　

(2)同余类与剩余系

　　定义1（同余类或剩余类）：

　　　　把全体整数分成这样的若干个两两不相交的集合，使得在同一个集合中的任意两个数对模m 一定同余；

　　　　而属于不同集合中的两个数对模m一定不同余；

　　　　每一个这样的集合称为模m的同余类或模m的剩余类；

　　　　例如：模3的同余类有

　　　　{0,3,6,...,3*k},{1,4,7,....,3*k+1},{2,5,8,.....3*k+2}

　　　　我们以 r mod m 表示 r 所属的模m的同余类；

　　　　例如上例，如果 r = 0，那么 r 所属的模m的同余类为{0,3,6,...,3*k}；

　　定义2（完全剩余系）：

　　　　一组数 y₁,y₂,.....y_m 称为模 m 的完全剩余系，当且仅当对任意的整数 a 有且仅有一个 y_j 使得同余式a ≡ y_j (mod m)成立。

　　　　简言之，对于任意 i,j ∈ [1,m],且 i ≠ j，有 m%y_i ≠ m%y_j。

　　　　从模m的每个同余类中各挑一个元素组成的集合就是模m的完全剩余系。

　　　　{0,1,2,.....,m-1}是最简单的一个模m的完全剩余系；

　　定义3（既约（或互素）同（剩）余类）：

　　　　在模m的同余类 r mod m 中，如果GCD(r,m) == 1，就称 r mod m 为模m的既约同余类；

　　　　模m的所有既约同余类的个数记作φ(m)，通常称为Euler函数。

　　定义4（既约（互素）剩余系）：

　　　　模 m 的既约剩余系是 m 的完全剩余系中与 m 互素的数构成的子集；

　　　　易得，模 m 的既约剩余系中的元素的个数为 φ(m)。

　　　　例如， m = 10，m的一个完全剩余系为{0,1,2,......,9}，其中与10互素的数组成的集合为 { 1,3,7,9 } ，并且任何两个元素模 10 不同余，；

              { 1,3,7,9 } 就为模 m 的一个既约剩余系，φ(10) = 4。

　　定理4：

　　　　设 m₁ | m，那么对任意 r 有

　　　　　　　　r mod m ⊆ r mod m₁;

不妨设 r < m && r < m1,m/m1=x;
那么 
   s1= r mod m  = {r,r+m,...,r+km,...}
   s2= r mod m1= {r,r+m1,...,r+km1,...}
对于s1中的任意元素 r+km = r+k*x*m属于集合s2
所以集合s1包含与集合s2。
等号成立，当且仅当 m == m1。

　　定理4'：

　　　　设 m1 | m，那么对任意 r，同余式 n ≡ r(mod m1) 成立的充要条件是以下 d=m/m1 个同余式

　　　　　　　　　　　　n ≡ r + j*m₁(mod m);( j∈[0,d-1])

　　　　有且仅有一个成立。

令 d = m/m1;................................①
n ≡ r(mod m1)可以表示为
    n-r = x*m1;(x∈Z).....................②
n ≡ r + j*m1(mod m)可以表示为
    n-r-j*m1 = y*m;(y∈Z)..............③
将①②式代入③式得
    (x-j)*m1 = y*d*m1;
∵j∈[0,d-1]
∴x-j 为模d的一个完全剩余系，那么当且仅当存在一个数可以
   被d整除；
∵y∈Z；
∴当且仅当存在一个 j 使得同余式 n ≡ r + j*m1(mod m)成立
证毕。

 　　定理6：

　　　　模m的所有不同的既约同余类是

　　　　　　　　r mod m , GCD(r,m) = 1, 1≤ r ≤ m;

　　　　φ(m)=1,2,...,m 中和m既约的数的个数。

　　定理7：

　　　　（1）在任意取定的 φ(m)+1 个均和 m 既约的整数中，必有两个数对模m同余。

　　　　（2）存在φ(m)个数两两对模m不同余且均和m既约。

(3)Euler函数φ(m)的求解

　　定理1：如果 k 为素数，那么 φ(k) = k-1