欧几里得+拓展欧几里得

（1）知识支持：

　　定理1：

　　　　Gcd(a,b) = Gcd(-a,b) = Gcd(a,-b) = Gcd( |a| , |b| )。

　　定理5：

　　　　设 Gcd(m,a) = 1，则有 Gcd(m,ab) = Gcd(m,b)，这就是说“求 m 与另一个数的最大公约数时，可以把另一个数中与 m 互素的因数去掉”。

　　定理6：

　　　　设 Gcd(m,a) = 1，那么若 m | ab，则 m | b，这就是说“若一个数被 m 整除，则把这个数中与 m 互素的因数去掉后仍被 m 整除”。

　　定理7：

　　　　Lcm(a,b)*Gcd(a,b) = |ab|。

 

 

 

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(2)欧几里得算法：

　　欧几里得算法是用来求 a 和 b 的最大公公约数（Greatest Common Divisor）的算法。

　　那么由欧几里得算法可得：

　　　　Gcd(a,b) = Gcd(b%a , a);

证明欧几里得算法正确性的关键是证明 Gcd(a,b)=Gcd(b%a,a);
令x=Gcd(a,b),y=Gcd(b%a,a);
b%a可表示为a和b的线性组合：b%a=b-(b/a)*a;
因为 a%x=0,b%x=0;
所以 (b%a)%x=0;
故y%x=0;
又(b%a)%y=[b-(b/a)*a]%y=0,a%y=0;
根据同余定理可得
b%y-(b/a)*a%y=0,所以b%y=(b/a)*a%y=0;
所以x%y=0;
所以Gcd(a,b)=Gcd(b%a,a);
证毕;

 

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 (2)拓展欧几里得算法：

　　线性组合定义：

　　　　如果 a 和 b 都是整数，则 ax+by 是 a 和 b 的线性组合，其中 x,y 为整数。

　　定理1：

　　　　设 c 是 a 和 b 的线性组合中的最小正整数，即 ax+by = c，（x,y为整数）。

　　　　则 c = Gcd(a,b)；

 　　定理1证明：

 　　

　　定理2：

　　　　如果 a 和 b 都是整数，则存在整数 x,y 使得 ax+by = Gcd(a,b);

　　推论：

　　　　整数 a 和 b 互素，当且仅当存在 x,y 使得 ax+by = 1;

 

　　给出不定方程 ax+by = Gcd(a,b) ，拓展欧几里得算法可以用于求解不等方程组的整数根（x,y）。

　　拓展欧几里得算法：

　　

/**
    求解满足ax+by=Gcd(a,b)的所有解(x,y)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int extendGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(a == 0)
    {
        x=0,y=1;
        return b;
    }

    int gcd=extendGcd(b%a,a,x,y);
    int x2=x,y2=y;
    y=x2;
    x=y2-b/a*x2;

//    第16~19可简化为
//    int gcd=extendGcd(b%a,a,y,x);
//    x -= b/a*y;

    return gcd;
}
int main()
{
    int a,b;
    while(~scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        int x,y;
        int gcd=extendGcd(a,b,x,y);
        printf("%d*%d+%d*%d=%d\n",a,x,b,y,gcd);
    }
}

　　定理3：

　　　　方程 ax+by = c 有解的充要条件是 Gcd(a,b) | c，当 ax+by = c 有解时，他的解和方程

　　　　的解相同。

　　　　假设 (x₀,y₀)是 ax+by = c 的一组解，那么 ax+by = c 的所有整数解为：（k为整数）

　　　　x = x₀+k×[ b/Gcd(a,b) ];

　　　　y = y₀-k×[ a/Gcd(a,b) ];