鸽巢原理

 

 

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定理

3.1 鸽巢原理：简单形式

　　定理3.1.1　　

　　　　如果要把 n+1 个物体放进 n 个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多个物体。

3.2 鸽巢原理：加强版

　　定理3.2.1

　　　　设 q₁,q₂,........,q_n 是正整数。

　　　　如果将 q₁+q₂+........+q_n-n+1 个物体放入 n 个盒子内，那么或者或者第一个盒子至少含有 q₁ 个物体，或者第二个盒子至少

　　　　含有 q₂ 个物体，......，或者第 n 个盒子至少含有 q_n 个物体。

　　推论3.2.2

　　　　设 n 和 r 都是正整数。如果把 n(r-1)+1 个物体分配到 n 个盒子中，那么至少有一个盒子含有 r 个或更多的物体。

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应用

定理3.1.1应用

　　应用1：

　　　　在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

　　应用2：

　　　　设有 n 对情侣，至少要从这 2n 个人中选出 n+1 个人才能保证能够选出一对情侣。

　　应用3：

　　　　给定 m 个整数 a₁,a₂,a₃,.....,a_m ，存在满足 0≤ i < j ≤m 的整数 i 和 j ，使得 a_i+1+a_i+2+.....+a_j 能够被 m 整除。

　　　　通俗的说就是在序列 a₁,a₂,a₃,.....,a_m 中存在连续的 a ，这些 a 的加和 sum 能够被 m 整除（sum%m = 0）。

　　　　证明：

　　　　　　定义 sum[ i ] 为前 i 项和，考虑这 m 个数

　　　　　　　　sum[1],sum[2],.........,sum[m]

　　　　　　如果这些前缀和当中的任意一个可被 m  整除，那么结论成立。

　　　　　　假设这 m 个前缀和都不能被 m 整除，那么 sum[ i ]%m  =  (1,2,3,....,m-1)中的一个；

　　　　　　因为有 m 个前缀和，但只有 m-1 个余数，所以必然存在两个前缀和 sum[ i ]%m  =  sum[ j ]%m  = r ；

　　　　　　不妨假设 sum[ i ]=pm+r , sum[ j ]=qm+r , q > p

　　　　　　两者做差 sum[ j ]-sum[ i ]=(q-p)m 即  a_i+1+a_i+2+.....+a_j = (q-p)m ，可被 m 整除，证明完毕。

　　应用4：

　　　　一位国际象棋大师有11周的时间备战一场总决赛，他决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳，他还决定每周下棋总数不超过12盘。

　　　　证明存在连续若干天，这位大师恰好下了21盘棋。

　　　　证明：

　　　　　　定义 sum[ i ]为前 i 天下棋的总数，因为大师每天至少下一盘棋，所以 sum[1,.....,77 ]序列为严格递增序列，

　　　　　　且1 ≤ sum[1] < sum[2] <.........< sum[77] ≤ 132(11×12) ，那么 22≤sum[1]+21 < sum[2]+21 <.........< sum[77]+21 ≤ 153;

　　　　　　因为这两部分一共有 77×2=154 个数，并且全都在[1,153]范围内，所以至少有两个数相等，又因为 sum[1,.....,77 ]序列为严格递增序列，所以

　　　　　　第一部分间无相同的数，同理，第二部分间也无相同的数，因此必然存在一个 i 和一个 j 使得 sum[ j ] = sum[ i ]+21.

　　　　　　从而这位大师在第 i,i+1,.....,j 连续的 (j-i) 天下了21盘棋。

　　应用5：

　　　　从整数 1,2,3,.....,200 中选出101个整数。

　　　　证明在所选的这些整数之间存在两个整数，使得这两个整数一个可被另一个整除。

　　　　证明：

　　　　　　易得每个整数都可写成 2^k*a 的形式（k≥0,a为奇数），这200个数中有 1,3,5,.......,199 共100个奇数，那么 a 就是从这100个奇数中任取一个，

　　　　　　因为需要取101个数，所以至少存在两个数使得这两个数的 a 相同，假设这两个数分别为 2ⁱ*a , 2^j*a , j > i 且为整数 ，那么 (2^j*a) / (2ⁱ*a)=j-i为整数。