三次异或交换数字

三次异或交换数字

$\wedge$ 在本文表示异或

void swap(int * restrict x, int * restrict y)
{
    if (x == y) return;
    *y = *x ^ *y;
    *x = *x ^ *y;
    *y = *x ^ *y;
    // *y ^= *x ^= *y ^= *x;
}

三种证明方式：

1. 将所有可能写出来

$$\begin{array}{|ccc|}\hline \wedge & 0& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ \hline\end{array}$$

只考虑一位的情况，可以看出三次异或后，位交换了。而整数也是多个位组成的，自然可以交换。

2. 从正常交换的过程思考

   正常交换数值时，需要一个值来保持中间变量。虽然没有直接声明一个变量来保持，但其实y就已经作为中间变量了。我将作为中间变量的y写作y'。

   第一次异或：y'保存了x与y不同的位（异或就代表着不同）；
   第二次异或：一个位异或0值不变，异或1则取反。此时y'中保存着原来的y不同于x的位，所以y'将x中不同于y的位都取反了，x也就变成了y；
   第三次异或：x现在是y了，成功交换了。那么将y中不同于x的位取反（仍然通过y'），y'也就变成了x。

3. 列表写逻辑值

   取 *x = a, *y = b

   $$\begin{array}{r}a\wedge a=0\\ 0\wedge a=a\\ 1\wedge a=\bar{a}\end{array}$$
   $$\begin{array}{r}\begin{array}{|ccc|}\hline step& \ast x& \ast y\\ 0& a& b\\ 1& a& a\wedge b\\ 2& b& a\wedge b\\ 3& b& a\\ \hline\end{array}\end{array}$$

虽然思路很巧妙，但是异或开销大，比传统的交换慢上很多。

实际上，可以用加减代替异或

void swap(int * restrict x, int * restrict y)
{
    if (x == y) return;
    *y = *x - *y;
    *x -= *y;
    *y += *x;
    // *y += *x -= *y = *x - *y;
}

使用加减的交换过程比较好验证，也有其他更多写法，总之是三步完成交换。不过使用加减会出现溢出问题。