模为1的等比复级数的和
有如下级数和
∞∑n=0e−j2πfnT
实际上其应该是不收敛的。工程上为了对其进行求解,引入了δ(⋅)函数。接下来我们看看工程中如何对其进行处理。
假设以周期T对函数g(t)进行采样,那么采样信号为:
gδ(t)=g(t)⋅∞∑n=−∞δ(t−nT)(a)=∞∑n=−∞g(nT)δ(t−nT)(b)
对采样信号的两种不同表达方式分别进行傅里叶变换,可以得到两种不同的频域表达方式:
对于方式(a):
gδ(t)=g(t)⋅∞∑n=−∞δ(t−nT)傅里叶级数展开=g(t)⋅(1T∞∑n=−∞ej2πTnt)=1T∞∑n=−∞g(t)⋅ej2πnTt
假设g(t)的傅里叶变换为G(f),那么根据傅里叶变换的调制特性(频移特性),采样信号的傅里叶变换为:
Gδ(f)=1T∞∑n=−∞G(f−nT)
对于方式(b)
直接对gδ(t)进行傅里叶变换得到:
Gδ(f)=∫∞−∞(∞∑n=−∞g(nT)δ(t−nT))e−j2πftdt=∞∑n=−∞g(nT)∫∞−∞δ(t−nT)e−j2πftdt=∞∑n=−∞g(nT)e−j2πfnT
结合(2),(3)式可以得到:
1T∞∑n=−∞G(f−nT)=∞∑n=−∞g(nT)e−j2πfnT
如果令g(t)=u(t),并带入(4)式,可以得到:
1T∞∑n=−∞12[δ(f−nT)+1jπ(f−nT)]=∞∑n=0u(nT)e−j2πfnT12T∞∑n=−∞[δ(f−nT)+1jπ(f−nT)]=u(0)e0+∞∑n=1e−j2πfnT=12+∞∑n=1e−j2πfnT+e−j2πf0T−e−j2πf0T=−12+∞∑n=0e−j2πfnT
至此,我们得出了:
∞∑n=0e−j2πfnT=12+12T∞∑n=−∞[δ(f−nT)+1jπ(f−nT)]
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