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模为1的等比复级数的和

有如下级数和

n=0ej2πfnT

实际上其应该是不收敛的。工程上为了对其进行求解,引入了δ()函数。接下来我们看看工程中如何对其进行处理。

假设以周期T对函数g(t)进行采样,那么采样信号为:

gδ(t)=g(t)n=δ(tnT)(a)=n=g(nT)δ(tnT)(b)

对采样信号的两种不同表达方式分别进行傅里叶变换,可以得到两种不同的频域表达方式:

对于方式(a):

gδ(t)=g(t)n=δ(tnT)傅里叶级数展开=g(t)(1Tn=ej2πTnt)=1Tn=g(t)ej2πnTt

假设g(t)的傅里叶变换为G(f),那么根据傅里叶变换的调制特性(频移特性),采样信号的傅里叶变换为:

Gδ(f)=1Tn=G(fnT)

对于方式(b)
直接对gδ(t)进行傅里叶变换得到:

Gδ(f)=(n=g(nT)δ(tnT))ej2πftdt=n=g(nT)δ(tnT)ej2πftdt=n=g(nT)ej2πfnT

结合(2),(3)式可以得到:

1Tn=G(fnT)=n=g(nT)ej2πfnT

如果令g(t)=u(t),并带入(4)式,可以得到:

1Tn=12[δ(fnT)+1jπ(fnT)]=n=0u(nT)ej2πfnT12Tn=[δ(fnT)+1jπ(fnT)]=u(0)e0+n=1ej2πfnT=12+n=1ej2πfnT+ej2πf0Tej2πf0T=12+n=0ej2πfnT

至此,我们得出了:

n=0ej2πfnT=12+12Tn=[δ(fnT)+1jπ(fnT)]

posted @   Vinson88  阅读(16)  评论(0编辑  收藏  举报
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