谁的傅里叶变换是阶跃函数？

显然阶跃函数不满足绝对可积，无法直接对其进行傅里叶反变换求出其时域对应的函数。但是可以利用傅里叶变换的性质对其进行求解。

• 对称性
  若\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\)，那么\(\mathscr{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega)\)。

• 尺度变换
  若\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\)，那么\(\mathscr{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\)。

上述性质的证明参见：傅里叶变换的基本性质

尺度变换的性质中，如果令\(a=-1\)，我们可以得到一个重要结论：

\[\mathscr{F}[f(-t)]=F(-\omega) \tag{1} \]

即：信号在时域中反褶等效于频域中也反褶

又由常见傅里叶变换对知道：

\[\mathscr{F}[u(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}=U(\omega) \tag{2} \]

那么结合“傅里叶变换的对称性”可以得到：

\[\mathscr{F}[U(t)]=2\pi u(-\omega) \tag{3} \]

又因为信号在时域中反褶等效于频域中也反褶，可以得到：

\[\mathscr{F}[U(-t)]=2\pi u(\omega) \]

所以可以得到\(u(\omega)\)的傅里叶反变换为：

\[\begin{aligned} \mathscr{F}^{-1}[u(\omega)]&=\frac{1}{2\pi}U(-t)\\ &= \frac{1}{2\pi}[\pi\delta(-t)+\frac{1}{j(-t)}] \\ &= \frac{1}{2}\delta(t) + j\frac{1}{2\pi t} \end{aligned} \tag{4}\]

至此，可以得到“\(\frac{1}{2}\delta(t) + j\frac{1}{2\pi t}\)的傅里叶变换是阶跃函数”