双正交信号传输的最佳检测和错误概率

\(M=2^{k}\)双正交信号是由\(M/2\)个正交信号及其负值构成。因此双正交信号解调器的复杂性比正交信号低，因为前者是由\(M/2\)个互相关器或匹配滤波器实现的，而后者需要M个匹配滤波器或互相关器。在双正交信号传输中\(N=M/2\)，信号的矢量表示为

\[\begin{aligned} \bold{s_{1}} &= -\bold{s_{N+1}} = (\sqrt{\mathcal{E}},0,\cdots,0)\\ \bold{s_{2}} &= -\bold{s_{N+2}} = (0,\sqrt{\mathcal{E}},\cdots,0)\\ &\vdots\\ \bold{s_{N}} &= -\bold{s_{2N}} = (0,\cdots,0,\sqrt{\mathcal{E}})\\ \end{aligned}\]

为了计算最佳检测器的错误概率，假定发送信号\(s_{1}(t)\)，相应于矢量\(\bold{s_{1}}=(\sqrt{\mathcal{E}},0,\cdots,0)\)。接收信号矢量为

\[\bold{r}=(\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1},n_{2},\cdots,n_{N}) \]

式中，\(\{n_{m}\}\)是均值为零，方差为\(\sigma_{n}^{2}=N_{0}/2\)的相互独立同分布的高斯随机变量。由于所有信号等概率等能量，最佳检测器根据互相关器的幅度

\[C(\bold{r,s_{m}})=\bold{r\cdot s_{m}},\quad 1\le m\le M/2 \]

判决发送信号，并根据该最大项的符号（正负号）用来确定发送信号是\(s_{m}(t)\)或\(-s_{m}(t)\)。根据这个判决规则，正确判决的概率等于\(r_{1}=\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>0\)以及\(r_{1}>|r_{m}|=|n_{m}|，(m=2,3,\cdots,\frac{1}{2}M)\)的概率，即

\[P[|n_{m}|<r_{1}|r_{1}>0]=\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}}\int_{-r_{1}}^{r_{1}}e^{-x^{2}/N_{0}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{r_{1}}{\sqrt{N_{0}/2}}}^{\frac{r_{1}}{\sqrt{N_{0}/2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx \]

那么，正确判决的概率为

\[P_{c}=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{r_{1}}{\sqrt{N_{0}/2}}}^{\frac{r_{1}}{\sqrt{N_{0}/2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx\right)^{M/2-1}p(r_{1})dr_{1}\tag{1} \]

\(p(r_{1})\)是均值为\(\sqrt{\mathcal{E}}\)，方差为\(N_{0}/2\)的高斯随机变量。那么将它的概率密度函数带入(1)式可得

\[P_{c}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\sqrt{2\mathcal{E}/N_{0}}}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-(v+\sqrt{2\mathcal{E}/N_{0}})}^{v+\sqrt{2\mathcal{E}/N_{0}}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx\right)^{M/2-1}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv\tag{2} \]

最后，符号错误概率\(P_{e}=1-P_{c}\)。(2)式中不同的M值，可以通过数值计算的方法来评估\(P_{c}\)以及\(P_{e}\)。