周期函数的傅里叶级数以及非周期函数的傅里叶变换推导（版二）
1.三角级数
傅里叶认为周期为T的任何函数\(f(t)\)都可以用一系列周期为T的正弦函数组成的级数来表示：
\[f(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}+\varphi_{n}\right) \tag{1.1}
\]
上式中\(t\)是变量，其他都是常数。这也是所谓的谐波分析，其中\(A_{0}\)称为f(t)的直流分量；\(A_{1}\text{sin}(\frac{2\pi}{T} t + \varphi_{1})\)则是一次谐波（基波）；而\(A_{2}\sin(2\cdot\frac{2\pi}{T} t + \varphi_{2}), A_{3}\sin(3\cdot\frac{2\pi}{T} t + \varphi_{3}),\cdots\)依次是二次谐波，三次谐波，等等。
将上式中的三角函数展开有：
\[A_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}+\varphi_{n}\right)=A_{n}\left[\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\cos\varphi_{n} + \cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\sin\varphi_{n}\right]
\]
令：\(a_{n}=A_{n}\sin\varphi_{n}, b_{n}=A_{n}\cos\varphi_{n}\)，可以得到：
\[A_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}+\varphi_{n}\right)=a_{n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) \tag{1.2}
\]
将式\((1.2)\)带入到式\((1.1)\)，并且令\(\frac{a_{0}}{2}=A_{0}\)可以得到
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right] \tag{1.3}
\]
这就是三角级数。其中\(a_{0},a_{n},b_{n},n=1,2,3,\cdots\)都是常数。接下来讨论，怎么计算它们。
2. 三角函数系的正交性
所谓的三角函数系
\[\begin{aligned}
0\rightarrow&\sin\left(\frac{2\pi \cdot 0t}{T}\right), &1\rightarrow \cos\left(\frac{2\pi \cdot 0t}{T}\right),\\
&\cos \left(\frac{2\pi \cdot 1t}{T}\right), &\sin\left(\frac{2\pi \cdot 1t}{T}\right), \\
&\cos\left(\frac{2\pi \cdot 2t}{T}\right), &\sin\left(\frac{2\pi \cdot 2t}{T}\right),\\
&\vdots &\vdots\\
&\cos\left(\frac{2\pi \cdot nt}{T}\right), &\sin\left(\frac{2\pi \cdot nt}{T}\right)
\end{aligned}
\tag{2.1}\]
在区间\([t_{0}+kT,t_{0}+(k+1)T],k\in Z, t_{0}\in [0,T]\)上正交，就是指在三角函数系\((2.1)\)中任何不同的两个函数的乘积在该区间上的积分等于0；两个相同函数的乘积在该区间上的积分不等于0。
3. 傅里叶级数的求解
对(1.3)式的两边在\([t_{0},t_{0}+T]\)上积分，可以得到：
\[\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt&=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\frac{a_{0}}{2}dt+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}a_{n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}b_{n}\sin(\frac{2\pi nt}{T})dt\right]\\
\end{aligned}
\]
根据三角函数系的正交性，上式的右边除了第一项外，其余各项均为0，所以：
\[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt=\frac{a_{0}}{2}\cdot T
\]
于是得到：
\[a_{0}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt \tag{3.1}
\]
然后求\(a_{n}\)：在\((3.1)\)式两端乘以\(\cos(\frac{2\pi kt}{T})\)，再在区间\([t_{0},t_{0}+T]\)逐项积分，可得：
\[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\frac{a_{0}}{2}\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt+b_{n}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\right]
\]
根据三角函数系的正交性，上式右端除\(k=n\)的一项外，其余各项均为零，所以：
\[\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt&=a_{k}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\cos^{2}\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt\\
&=\frac{a_{k}}{2}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left(1+\cos\left(\frac{2\cdot2\pi kt}{T}\right)\right)dt\\
&=T\cdot\frac{a_{k}}{2}
\end{aligned}\]
于是可以得到
\[a_{k}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt \tag{3.3}
\]
类似地，在\((3.1)\)式两端乘以\(\sin(\frac{2\pi kt}{T})\)，再在区间\([t_{0},t_{0}+T]\)逐项积分，可得：
\[b_{k}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt\quad (k=1,2,3,\cdots) \tag{3.4}
\]
由于当k=0时，\(a_{k}\)的表达式正好给出\(a_{0}\)，因此，已得结果可以合并写成：
\[\left \{
\begin{aligned}
a_{k}&=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt\quad (k=0,1,2,3,\cdots) \\
b_{k}&=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin\left(\frac{2\pi kt}{T}\right)dt\quad (k=0,1,2,3,\cdots)
\end{aligned}
\right. \tag{3.5}
\]
如果公式\((3.5)\)中的积分都存在，这时它们定出的系数\(a_{0},a_{1},b_{1},\cdots\)叫做函数\(f(x)\)的傅里叶系数，将这些系数带入式\((3.1)\)右端，所得的三角级数
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_{n}\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right] \tag{3.6}
\]
也就是所谓的函数\(f(x)\)的傅里叶级数。
4. 傅里叶级数的复数形式
上一小节我们已经推导出，周期为T的周期信号的傅里叶级数为：
\[\begin{aligned}
&f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_{n}\sin(\frac{2\pi nt}{T})\right]\\
&\left \{
\begin{aligned}
a_{n}&=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\quad (n=0,1,2,3,\cdots) \\
b_{n}&=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\quad (n=0,1,2,3,\cdots)
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\tag{4.1}
\]
欧拉公式(Euler's Formula)为:
\[ \left \{
\begin{aligned}
e^{i\theta}&=\text{cos}\theta + j\text{sin}\theta\\
e^{-i\theta}&=\text{cos}\theta - j\text{sin}\theta\\
\end{aligned}
\right.
\tag{4.2}
\]
据此可以得到：
\[ \left \{
\begin{aligned}
\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)&=\frac{1}{2}(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}) \\
\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)&=\frac{1}{2j}(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}) \\
\end{aligned}
\right. \tag{4.3}
\]
将式\((4.3)\)带入式\((4.1)\)可得
\[\begin{aligned}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\frac{1}{2}\left(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right)+b_{n}\frac{1}{2j}\left(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right)\right]\\
&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}}{2}\left(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right)-\frac{jb_{n}}{2}\left(e^{j\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right)\right]\\
&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right]
\end{aligned} \tag{4.4}
\]
令：
\[F(n)=\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})\quad n = 1,2,\cdots \tag{4.5}
\]
观察式\((4.1)\)可以发现，\(a_{n},b_{n}\)分别是关于\(n\)的偶函数和奇函数。将这个关系带入到式\((4.5)\)可以得到
\[F(-n)=\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{n})\quad n = 1,2,\cdots \tag{4.6}
\]
将式\((4.5),(4.6)\)带入到式\((4.4)\)可以得到：
\[\begin{aligned}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+F(-n)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}\right] \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{j\frac{2\pi nt}{T}} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=1}^{\infty}F(-n)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}} \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{j\frac{2\pi nt}{T}} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}F(-(-n))e^{-j\frac{2\pi (-n)t}{T}} \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{j\frac{2\pi nt}{T}} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}
\end{aligned}
\]
上式中我们做了\(F(0)=\frac{a_{0}}{2}\)的代换。故此，我们得到了函数\(f(t)\)的指数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}} \tag{4.7}
\]
而其中的\(F(n)\)为：
\[\begin{aligned}
F(n)&= \frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n}) \\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt-j\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\right] \\
&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\left[\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)-j\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]dt\\
&= \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt
\end{aligned} \tag{4.8}
\]
公式(4.8)的推导是基于\(n=1,2,3,\cdots\)，另外当\(n=-1,-2,-3,\cdots\)由函数关于\(n\)的对称性上式也成立，最后就是当\(n=0\)时，带入上式，可以发现其结果兼容式\((4.5)\)，因此也符合。综上所示对于一个周期为T的周期函数，其指数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}}
\]
\[F(n)=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt
\]
频谱：上式中\(F(n)\)就是函数\(f(t)\)的频谱，每个n代表一条谱线。
5. 傅里叶变换推导
上一小节我们已经推导出周期为T的函数\(f(t)\)的复数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T}} \tag{5.1}
\]
\[\begin{aligned}
F(n)&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt\\
&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt,\quad \text{let }\ t_{0}=-\frac{T}{2}
\end{aligned}\tag{5.2}\]
上面讨论的都是周期函数，那么对于非周期函数，傅里叶级数又有什么变化呢？
首先观察\(F(n)\)。对于非周期函数\(f(t)\)，其周期\(T_{1}\rightarrow \infty\)，其频谱为
\[\begin{aligned}
F(n)&=\lim_{T_{1}\rightarrow\infty}\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T_{1}}}dt\\
&\overset{\frac{1}{T_{1}}=f_{1}}{=}\lim_{f_{1}\rightarrow 0}\left[\color{red}{f_{1}}\color{blue}{\int_{-\frac{1}{2f_{1}}}^{\frac{1}{2f_{1}}}f(t)e^{-j2\pi nf_{1}t}dt}\right]
\end{aligned}\tag{5.3}\]
可见非周期函数的频谱由两部分组成，其一为
\[\lim_{f_{1}\rightarrow0}f_{1}=0\tag{5.4}
\]
其二为
\[\begin{aligned}
\lim_{f_{1}\rightarrow 0}\int_{-\frac{1}{2f_{1}}}^{\frac{1}{2f_{1}}}f(t)e^{-j2\pi nf_{1}t}dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left[\lim_{f_{1}\rightarrow 0}e^{-j2\pi nf_{1}t}\right]dt\\
\end{aligned}\]
上式中右边的离散变量\(nf_{1}\)之间的间隔\(\Delta(nf_{1})=(n+1)f_{1}-nf_{1}=f_{1}\)趋于零，因此从离散变量\(nf_{1}\)变为连续变量\(f\)：
\[\begin{aligned}
\lim_{f_{1}\rightarrow 0}\int_{-\frac{1}{2f_{1}}}^{\frac{1}{2f_{1}}}f(t)e^{-j2\pi nf_{1}t}dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left[\lim_{f_{1}\rightarrow 0}e^{-j2\pi nf_{1}t}\right]dt\\
&=\color{red}{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt}
\end{aligned}\tag{5.5}\]
考虑两种情况：
(5.5)式为无限值：
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt =\infty
\]
此时
\[F(n)=\left(\lim_{f_{1}\rightarrow0} f_{1}\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt\right)
\]
的值是不确定的。
(5.5)式为有限值：
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt = M <\infty
\]
此时
\[F(n)=\left(\lim_{f_{1}\rightarrow0} f_{1}\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt\right)=0
\]
可见\(F(n)\)不适合再作为频谱。考虑定义
\[F(f)=\lim_{f_{1}\rightarrow 0}\frac{F(n)}{f_{1}}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt\tag{5.6}
\]
为非周期函数\(f(t)\)的频谱，此即为非周期函数的傅里叶变换。
对于非周期函数\(f(t)\)的傅里叶级数
\[\begin{aligned}
f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)e^{j\frac{2\pi nt}{T_{1}}}\\
&=\lim_{f_{1}\rightarrow0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{F(n)}{f_{1}}e^{j2\pi nf_{1}t} \Delta(nf_{1})
\end{aligned}\]
带入以下关系：
\[\begin{aligned}
\frac{1}{T_{1}}=f_{1}\\
nf_{1}\rightarrow f\\
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}\\
\Delta(nf_{1}) \rightarrow df\\
F(f)=\lim_{f_{1}\rightarrow 0}\frac{F(n)}{f_{1}}
\end{aligned}
\]
可以得到：
\[f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(f)e^{j2\pi ft}df\tag{5.7}
\]
至此得到傅里叶变换对：
\[\begin{aligned}
F(f)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ft}dt \\
f(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}F(f)e^{j2\pi ft}df
\end{aligned}\]
参考资料
[1]. 同济大学，《高等数学》，第五版
[2]. 郑丽君，《信号与系统》，第二版
