正交幅度调制(QAM)
将来自信息序列{an}的两个分离的k比特符号同时加在两个正交载波cos2πfct和sin2πfct上。这就是正交幅度调制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)。信号波形可以表示为:
sm(t)=Re[(Ami+jAmq)g(t)ej2πfct]=Amig(t)cos(2πfct)−Amqg(t)sin(2πfct)=Amiy1(t)−Amqy2(t)
- Ami,Amq是承载信息的正交载波的信号幅度;
- g(t)为实信号脉冲
1.正交展开
由(1)式最后两行可以看出,sm(t)被表示成了两个基函数y1(t)=g(t)cos(2πfct),y2(t)=−g(t)sin(2πfct)的线性组合,其中的系数分别为Ami,Amq。这两个基函数与相位调制中的两个基函数完全一样,因此可以得到完全一样的标准正交基如下:
ϕ1(t)=√2Egg(t)cos(2πfct)ϕ2(t)=−√2Egg(t)sin(2πfct)
将(1)式进行改写并将(2)式带入可以得到:
sm(t)=Ami√Eg2√2Egg(t)cos(2πfct)+Amq√Eg2(−√2Egg(t)sin(2πfct))=Ami√Eg2ϕ1(t)+Amq√Eg2ϕ2(t)
此即为QAM调制信号的正交展开式,相应的矢量表达式为:
sm=[Ami√Eg2,Amq√Eg2]
2. 能量计算
信号sm(t)的能量为
Em=‖sm‖2=Eg2(A2mi+A2mq)
在矩形星座的特殊条件下,即M=4,16,64⋯且在两个方向上的幅度为±1,±3,⋯,±(√M−1),平均信号能量为:
Eavg=1MEg2√M∑m=1√M∑n=1(A2m+A2n)=Eg2M×2M(M−1)3=M−13Eg
平均比特信号能量为:
Ebavg=M−13log2MEg
3. 信号点距离
任意一对信号点之间的距离为
dmn=√‖sm−sn‖2=√Eg2[(Ami−Ani)2+(Amq−Anq)2]
当两个信号点相邻时,距离最短,可以得到:
dmin=√Eg2[(0)2+(2)2]=√2Eg
由(7)式可以得到:
Eg=3log2MM−1Ebavg
将其带入(9)式可以得到最小距离与平均比特信号能量的关系:
dmin=√6log2MM−1Ebavg
4. QAM的另一种表示
对(1)式进行改写
sm(t)=Re[(Ami+jAmq)g(t)ej2πfct]=Re[rmejθmg(t)ej2πfct]=rmg(t)cos(2πfct+θm)
- rm=√A2mi+A2mq
- θm=tan−1(Amq/Ami)
从这个表达式可以看出,QAM信号波形可以看成组合幅度rm和相位θm的调制。可以选择M1个电平的PAM和M2个相位的PSK的任意组合来构成一个M=M1M2个星座点的PAM-PSK组合星座图。
5. PAM,PSK和QAM的通用形式
PAM信号的表达式为:
sm(t)=Re[Amg(t)ej2πfct],m=1,2,⋯,M
PSK信号的表达式为:
sm(t)=Re[g(t)ej2πM(m−1)ej2πfct]=Re[Amg(t)ej2πfct],m=1,2,⋯,M
QAM信号的表达式为:
sm(t)=Re[(Ami+jAmq)g(t)ej2πfct]=Re[Amg(t)ej2πfct],m=1,2,⋯,M
可见PAM,PSK和QAM信号的通用形式为:
sm(t)=Re[Amg(t)ej2πfct],m=1,2,⋯,M
式中,Am由信号传输方式确定
- PAM的Am是实数,一般等于±1,±3,⋯,±(M−1)
- M元PSK的Am是复数,等于ej2πM(m−1)
- QAM的Am也是复数,等于Am=Ami+Amq
从这个意义上说,PAM,PSK和QAM属于同一种类型,PAM和PSK可认为QAM的特例。在QAM传输方式中,幅度和相位都携带信息,而PAM和PSK只是幅度或相位携带信息。
PAM,PSK和QAM信号的信号空间的维度是相当低的(PAM为一维,PSK和QAM为二维的),并且与星座的大小M无关。下图所示就是这种一般类型信号传输方式调制器的结构,其中ϕ1(t),ϕ2(t)由式(2)确定。
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