拉普拉斯变换、z变换，序列的傅里叶变换之间的关系

拉普拉斯变换与\(z\)变换的关系

• \(z\)变换的复变量\(z\)与拉普拉斯变换的复变量\(s\)之间的对应关系为：

  \[z=e^{sT_s},\quad T_{s}\ \text{is the samping period.} \]

• 将\(s\)平面用直角坐标系表示为

  \[s=\sigma + j\Omega \]

• 将\(z\)平面用极坐标表示为

  \[z=re^{j\omega} \]

  可以得到：

  \[z=re^{j\omega}=e^{sT_s}=e^{(\sigma + j\Omega)T_{s}}=e^{\sigma T_{s}}e^{j\Omega T_{s}} \]

  于是：\(r=e^{\sigma T_{s}},\quad \omega=e^{j\Omega T_{s}}\)，即\(z\)的模仅与\(s\)的实部有关，而\(z\)的相位角仅与\(s\)的虚部有关。

• r与\(\sigma\)的关系，\(r=e^{\sigma T_{s}}\)

  • \(\sigma=0\)（s平面的虚轴）对应于\(r=1\)（z平面的单位圆）
  • \(\sigma<0\)（s平面的左半平面）对应于\(r<1\)（z平面的单位圆内部）
  • \(\sigma>0\)（s平面的右半平面）对应于\(r>1\)（z平面的单位圆外部）

• \(\omega\)与\(\Omega\)的关系，\(\omega=\Omega T_{s}\)

  • \(\Omega=0\)（s平面的实轴）对应于\(\omega=1\)（z平面的正实轴）
  • \(\Omega=\Omega_{0}\)（s平面平行于实轴的直线）对应于\(\omega=\Omega_{0}T_{s}\)（z平面始于原点辐射角为\(\omega=\Omega_{0}T_{s}\)的射线）
  • \(\Omega\)由\(-\pi/T_{s}\)增长到\(\pi/T_{s}\)（s平面宽度为\(2\pi/T_{s}\)的一个水平条带）对应于\(\omega\)由\(-\pi\)到\(\pi\)（z平面绕原点旋转一周）。因此，\(\Omega\)每增加一个采样角频率\(2\pi/T_{s}\)，\(\omega\)就增加一个\(2\pi\)。

z变换与序列傅里叶变换的关系

• 序列的傅里叶变换与\(z\)变换的关系为：

  \[X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j\omega}} \]

  即序列的傅里叶变换\(X(e^{j\omega})\)是\(z\)变换在\(z=e^{j\omega}\)的特殊情况，而\(z=e^{j\omega}\)的模为1，即单位圆。

• 序列的傅里叶变换是\(z\)变换在单位圆上的特殊情况。

• \(z\)平面的单位圆对应于\(s\)平面的虚轴，即\(s=j\Omega\)。由连续信号的傅里叶变换可知，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特里。因此，序列的傅里叶变换与连续信号的傅里叶变换意义相同，即信号的频谱。

• 连续信号傅里叶变换的变量为\(\Omega\)，而离散时间傅里叶变换的变量为\(\Omega\)，它们之间的关系为：

  \[\omega=\Omega Ts=\frac{\Omega}{f_{s}}=\frac{2\pi f}{f_{s}} \]

  \(\omega\)称为数字频率，\(f_{s}\)为采样频率。即数字频率可以看作是模拟角频率\(\Omega\)对采样频率的归一化。

• 根据奈奎斯特采样定理，连续信号的频率最高为\(f_s/2\)，对应的数字频率为\(\omega=\pi\)，因此数字频率的最大值也就是\(\pi\)。由于序列的傅里叶变换是以\(2\pi\)为周期的，所以数字频率的有效取值范围为\(-\pi\sim\pi,\ 0\sim 2\pi\)。

线性时不变离散时间系统的变换域分析

线性时不变离散系统的变换域描述

• 系统的输出、输入与单位脉冲响应的关系为：

  \[y(n)=x(n)*h(n) \]

  对上式两端取\(z\)变换，根据\(z\)变换的时域卷积定理有：

  \[Y(z)=X(z)H(z)\rightarrow H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} \]

  \(H(z)\)是系统单位脉冲响应\(h(n)\)的\(z\)变换，称为系统函数（转移函数）。对\(h(n)\)进行离散时间傅里叶变换，可得：

  \[H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)e^{-j\omega n} \]

  称\(H(e^{j\omega})\)为系统的频率响应。显然，z变换在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。

• 几种线性时不变系统描述方法

  • 单位脉冲响应——单位冲激序列的作用下系统的响应；
  • 线性差分方程——任意输入情况下系统的输出；
  • 系统函数——从\(z\)变换域角度来描述系统；
  • 系统的频率响应——从离散时间傅里叶变换，即频域来描述
    这四种方法的任意一种能够求出余下的三种。

• 系统因果稳定性的变换域判定

  • 时域判定系统因果稳定性的依据：

    系统的单位脉冲响应必须是因果的：\(h(n)=0(n<0)\)

    系统的单位脉冲响应必须是绝对可和的：\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)<+\infty\)

  • \(z\)变换的收敛域是满足\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)z^{-n}|<+\infty\)的那些值确定的；

  • 如果系统函数的收敛域包括单位圆\(|z|=1\)，则肯定满足\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)<+\infty\)的条件，即系统是稳定的，反之也成立，即如果系统是稳定的，则其收敛域一定包括单位圆。

  • 因果系统的单位脉冲响应是因果序列，而因果序列的\(z\)变换的收敛域为\(R_{x-}<|z|\le +\infty\)，即因果序列的收敛域是半径为\(R_{x-}\)的圆的外部，且包括\(z=+\infty\)。

  综上：一个因果稳定的离散时间系统的系统函数\(H(z)\)必须从单位圆到\(z=+\infty\)的整个\(z\)平面收敛，也就是说，系统的的全部极点必须在单位圆内部。

系统频率响应的意义及定性确定方法

为研究“离散时间线性时不变系统”对输入频谱的处理作用，有必要研究系统对复指数或正弦序列的响应。

设系统的输入是频率为\(\omega\)的复指数序列：\(x(n)=e^{j\omega n},-\infty<n<+\infty\)

系统的输出为：

\[y(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}h(m)e^{j\omega(n-m)}=e^{j\omega n}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}h(m)e^{-j\omega m}=e^{j\omega n}H(e^{j\omega}) \]

\(H(e^{j\omega})\)为单位脉冲响应的\(h(n)\)的离散时间傅里叶变换，即系统的频率响应。稳定状态下，当系统的输入为复指数序列\(e^{j\omega n}\)时，系统的输出也含有\(e^{j\omega n}\)，只是被复函数值\(H(e^{j\omega})\)加权。

系统的差分方程为：

\[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k)-\sum_{k=1}^{N}a_{k}y(n-k) \]

两边进行傅里叶变换：

\[Y(z)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}X(z)z^{-k}-\sum_{k=1}^{N}a_{k}Y(z)z^{-k} \]

系统函数为：

\[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}} \]

对上式进行因式分解：

\[H(z)=A\frac{\prod_{k=1}^{M}(1-c_{k}z^{-1})}{\prod_{k=1}^{N}(1-d_{k}z^{-1})}=Az^{(N-M)}\frac{\prod_{k=1}^{M}(z-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(z-d_{k})} \]

其中，A为实常数，\(c_{k},d_{k}\)分别为\(H(z)\)的零点和极点。对于一个稳定系统，其收敛域包括单位圆，即其傅里叶变换存在。将\(z=e^{j\omega}\)带入上式，即可得到系统的频率响应：

\[H(z)=Ae^{j\omega(N-M)}\frac{\prod_{k=1}^{M}(e^{j\omega}-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(e^{j\omega}-d_{k})}=|H(e^{j\omega})|e^{jarg[H(e^{j\omega})]} \]

则\(H(e^{j\omega})\)的模为：

\[|H(e^{j\omega})|=|A|\frac{\prod_{k=1}^{M}(e^{j\omega}-c_{k})}{\prod_{k=1}^{N}(e^{j\omega}-d_{k})} \]

则\(H(e^{j\omega})\)的相位角为：

\[arg[H(e^{j\omega})]=arg[A]+\sum_{k=1}^{M}arg[e^{j\omega}-c_{k}]-\sum_{k=1}^{N}arg[e^{j\omega}-d_{k}]+(N-M)\omega \]

显然，无论是\(H(e^{j\omega})\)的模还是相位均受到零点\(c_{k}\)和极点\(d_{k}\)的影响。在单位圆上的零点，将使\(H(e^{j\omega})\)的幅度为零，即传输零点，而单位圆附近的零点将使\(|H(e^{j\omega})|\)出现凹谷，在单位圆内靠近单位圆的极点将使\(|H(e^{j\omega})|\)处现凸峰，极点在单位圆外则系统不稳定。因此利用这种几何直观的方法，适当地控制零点和极点的个数及位置，就能改变系统的频率响应特性。

系统的分类

• 无限长单位脉冲响应(IIR)系统

  系统函数的定义为：

  \[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}} \]

  其中分母多项式系数\(a_{k}\)只要有一个不为零，则系统在有限\(z\)平面(\(0<|z|<+\infty\))上将会出现极点，若极点不被零点抵消，则系统函数\(H(z)\)的逆变换\(h(n)\)就会有无穷多项，即系统的单位脉冲响应是无限长的，这样的系统称为IIR系统。

  对于IIR系统，由于其单位脉冲响应为无限长，故不能采样卷积计算其响应，只能用差分方程或\(z\)变换的方法来求解，由于至少有一个\(a_{k}\)不为0，即差分方程为

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k)-\sum_{k=1}^{N}a_{k}y(n-k) \]

  上式必然至少存在一项\(y(n-k)\)，即当前的输出\(y(n)\)不仅与输入有关，而且还与以前的输出
  \(y(n-k)\)有关，故IIR系统中存在输出到输入的反馈，这种结构称为递归结构。

• 有限长单位脉冲响应(FIR)系统
  若系统函数的定义式中的所有\(a_{k}\)均为0，这样\(H(z)\)在有限平面不存在极点，此时系统函数为：

  \[H(z)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k} \]

  这时系统的单位脉冲响应为

  \[h(n)=b_{k},k=0,1,\cdots,M \]

  单位脉冲响应的长度为有限长，这样的系统称为FIR系统。由于其单位脉冲响应为有限长，可以 采样卷积计算公式直接计算系统的响应。

  由于所有\(a_{k}\)均为0，其差分方程为：

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x(n-k) \]

  其输出仅与输入有关，不存在反馈，这种结构称为非递归结构。

• 全通系统

  • 系统的幅度特性满足：
  \[|H(e^{j\omega}|=1,\quad 0\le\omega\le\pi \]
  • 系统函数为：
  \[H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{N}a_{k}^{*}z^{-N+k}}{\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}}=z^{-N}\frac{D^{*}(z^{k-1})}{D(z)},\quad a_{0}=1 \]
  • 全通系统的零极点具有如下特点：
    • 若\(p_{k}\)为\(H(z)\)的极点，则\((p_{k}^{-1})^{*}\)一定为零点
    • 全通系统的零点与极点相对单位圆是镜像共轭成对的。

• 最小相位系统和最大相位系统

  • 最小相位系统和最大相位系统是根据系统的相位特性来进行分类的。稳定的因果系统，要求其所有极点均处于单位圆内部，但对零点没有限制。
  • 最小相位系统：系统的所有零点均处于单位圆内
  • 最大相位系统：系统的所有零点均处于单位圆外
  • 一个稳定的全通系统所有极点均处于单位圆内部，而其所有零点与极点相对单位圆镜像共轭成对，因此其所有零点均位于单位圆外部，故全通系统是最大相位系统
  • 最小相位系统的相位滞后总是小于所有其他具有相同幅度特性的系统的相位滞后