序列的傅里叶变换
序列的离散傅里叶变换
序列的离散傅里叶变换给出了序列频谱的概念，可从频域对离散时间信号和系统进行分析。\(z\)变换是用\(z\)的幂级数\(z^{-n}\)对序列进行展开，而序列的离散傅里叶变换是用\(e^{-j \omega n}\)作为基函数对序列进行正交展开的。
序列的傅里叶变换的定义
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序列的傅里叶变换定义为：
\[X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j\omega n} \]它是\(\omega\)的连续函数。
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由于\(e^{-j \omega n} = e^{-j (\omega + 2\pi M)n}\)，其中\(M\)为整数。所以有：
\[X(e^{j \omega })=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j(\omega +2\pi M)n}=X(e^{j(\omega+2\pi M)}) \]序列的傅里叶变换\(X(e^{j\omega})\)是周期为\(2\pi\)的周期函数。
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序列的傅里叶变换是\(z\)变换在\(z=e^{j\omega}\)时的特殊情况：
\[X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j \omega}} \] -
实部虚部表示：
\[X(e^{j\omega})=X_{R}(e^{j\omega})+jX_{I}(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j arg[X(e^{j\omega})]} \]\(|X(e^{j\omega})| \rightarrow\) 幅频特性或幅度谱
\(arg[X(e^{j\omega})] \rightarrow\) 相位谱
\[\begin{aligned} |X(e^{j\omega})| &= \sqrt{X_{R}^{2}(e^{j\omega})+X_{I}^{2}(e^{j\omega})} \\ \varphi(\omega) &= arg[X(e^{j\omega})]=arctan[\frac{X_{I}(e^{j\omega})}{X_{R}(e^{j\omega})}] \end{aligned}\]它们都是\(\omega\)的连续函数和周期为\(2\pi\)的周期函数。
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序列的傅里叶反变换：
\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega m}&=\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{ -j\omega n}]e^{j\omega m} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\int_{-\pi}^{\pi}e^{ -j\omega n} \\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\delta(n-m) = 2\pi x(n) \end{aligned} \]所以有：
\[x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \]
序列傅里叶变换的主要性质
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线性：
\[DTFT[ax_{1}(n)+bx_{2}(n)]=aX_{1}(e^{j\omega})+bX_{2}(e^{j\omega}) \] -
序列时移：
\[DTFT[x(n-n_{0})]=e^{-j\omega n_{0}}X(e^{j\omega}) \]时域移位对应于频域移相。
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序列乘指数序列：
\[DTFT[a^{n}x(n)]=X(\frac{e^{j\omega}}{a}) \] -
序列乘复指数序列（调制）
\[DTFT[e^{j\omega_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega-\omega_{0})}) \]时域调制对应频域移位。
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序列线性加权
\[DTFT[nx(n)]=j\frac{d}{d\omega}[X(e^{j\omega})] \]时域线性加权 对应 频域一阶导数乘以j。
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序列的反转
\[DTFT[x(-n)]=X(e^{-j\omega}) \]时域反转 对应 频域反转
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序列共轭
\[DTFT[x^{*}(n)]=X^{*}(e^{-j\omega}) \]时域共轭 对应 频域共轭且反转
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时域卷积定理
\[DTFT[x(n)*h(n)] = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]时域卷积 对应 频域相乘
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频域卷积定理
\[DTFT[x(n)y(n)] = \frac{1}{2\pi}[X(e^{j\omega})*Y(e^{j\omega})] \]时域相乘 对应 频域卷积并除以\(2\pi\)。
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帕斯瓦尔定理
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^{2}d\omega \]时域总能量等于频域总能量，即能量守恒。
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对称性
若序列\(x_{e}(n)\)满足：\(x_{e}(n) = x_{e}^{*}(-n)\)， 则称序列\(x_{e}(n)\)为共轭对称序列。
若序列\(x_{o}(n)\)满足：\(x_{o}(n) = -x_{o}^{*}(-n)\)， 则称序列\(x_{e}(n)\)为共轭反对称序列。
任何一个序列都可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：
\[\begin{aligned} x(n) &= x_{e}(n) + x_{o}(n) \\ x_{e}(n) &= \frac{1}{2}[x(n)+x^{*}(-n)] \\ x_{o}(n) &= \frac{1}{2}[x(n)-x^{*}(-n)] \\ \end{aligned} \]对应的共轭对称部分和共轭反对称部分的傅里叶变换分别为：
\[\begin{aligned} DTFT[x_{e}(n)]&=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})+X^{*}(e^{j\omega})]=Re[X(e^{j\omega})] \\ DTFT[x_{o}(n)]&=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})-X^{*}(e^{j\omega})]=jIm[X(e^{j\omega})] \end{aligned} \]序列\(x(n)\)共轭对称部分的离散时间傅里叶变换对应于\(X(e^{j\omega})\)的实部；而共轭反对称部分的离散傅里叶变换对应于\(X(e^{j\omega})\)的虚部（包括j）。
若将\(x(n)\)表示成实部和虚部和的形式：
\[x(n)=x_{r}(n)+jx_{i}(n) \]对上式两边进行离散时间傅里叶变换可得:
\[X(e^{j\omega})=DTFT[x_{r}(n)+jDTFT[x_{i}(r)] \]若定义：
\[\begin{aligned} X_{e}(e^{j\omega})&=DTFT[x_{r}(n)] \\ X_{o}(e^{j\omega})&=jDTFT[x_{i}(n)] \end{aligned}\]由于\(x_{r}(n),x_{i}(n)\)均为纯实数，可以得到：
\[\begin{aligned} DTFT[x_{r}(n)]&=X_{e}(e^{j\omega})=X_{e}(e^{-j\omega})\\ jDTFT[x_{i}(n)]&= X_{o}(e^{j\omega})=- X_{o}(e^{-j\omega}) \end{aligned}\]序列\(x(n)\)的实部的离散时间傅里叶变换具有共轭对称性，而其虚部的离散时间傅里叶变换具有共轭反对称性。
