我们知道傅里叶变换为:
其中Ω为模拟角频率。但是傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积,即
该条件限制了某些增长信号如eat,a>0傅里叶变换的存在,对于周期信号、阶跃信号虽然没有受到这方面限制,但其变换式中出现冲激函数δ(Ω)。为了使更多的函数存在变换,并简化某些变换形式或运算过程,引入一个衰减因子e−σt(σ为任意实数)使它与x(t)相乘,于是e−σtx(t)得以收敛,绝对可积条件就容易满足。此时e−σtx(t)的傅里叶变换为:
将上式中的σ+jΩ用符号s代替:
于是可以得到:
由利用傅里叶逆变换可得:
等式两边乘以eσt,得到:
将s=σ+jΩ,ds=jdΩ带入上式,并改变积分上下限,可以得到:
至此,得到了拉普拉斯的正反变换分别为(4),(5)。
上述两个变换都是对连续函数进行分析,但是数字信号处理中的信号都是时间上离散的序列x(n),上面两个变换怎么映射到序列上去呢?
首先需要对连续信号进行抽样,进而得到离散序列x(n),假设抽样间隔为Ts那么由连续信号到离散信号的过程为:
上式中xs(t)是x(t)在离散时刻mTs的样点值的集合。
考虑xs(t)的拉普拉斯变换:
如果令
并将x(nTs)简记为一般的离散序列x(n),可以得到:
这样拉普拉斯变换就变成了z变换。
我们知道傅里叶变换中的X(Ω)反映的是信号的频谱(包括相频、幅频特性)。所以如果要从拉普拉斯变换分析连续信号的频谱特性,需要将拉普拉斯变换退化为傅里叶变换,也即是令σ=0。同理,如果想要得到离散序列的频谱,相应的z变换中的z=esTs=eσ+jΩ中的σ也要等于0。此时z变换变为:
令
可以得到
这就是离散序列的傅里叶变换(DTFT)了。
(8)中的ω定义为“数字频率”,而Ω正是模拟角频率,由此可以得出,数字角频率,模拟角频率,以及模拟频率与采样频率的关系如下:
到了这里可以发现时域上数值已经离散,但是频域上还没有变成离散的,这不适合计算机处理,于是还需要将频谱也变成离散的,该如何变呢?(下次接着说)