我们知道傅里叶变换为:

X(Ω)=+x(t)ejΩtdt

x(t)=12πX(Ω)dΩ

其中Ω为模拟角频率。但是傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积,即

|x(t)|dt<

该条件限制了某些增长信号如eat,a>0傅里叶变换的存在,对于周期信号、阶跃信号虽然没有受到这方面限制,但其变换式中出现冲激函数δ(Ω)。为了使更多的函数存在变换,并简化某些变换形式或运算过程,引入一个衰减因子eσtσ为任意实数)使它与x(t)相乘,于是eσtx(t)得以收敛,绝对可积条件就容易满足。此时eσtx(t)的傅里叶变换为:

X1(Ω)=+0[x(t)eσt]ejΩtdt=+0x(t)e(σ+jΩ)tdt

将上式中的σ+jΩ用符号s代替:

s=σ+jΩ

于是可以得到:

X(s)=+0x(t)estdt

由利用傅里叶逆变换可得:

x(t)eσt=12πX1(Ω)ejΩtdΩ

等式两边乘以eσt,得到:

x(t)=12πX1(Ω)e(σ+jΩ)tdΩ

s=σ+jΩ,ds=jdΩ带入上式,并改变积分上下限,可以得到:

x(t)=1j2πσ+jσjX(s)estds

至此,得到了拉普拉斯的正反变换分别为(4),(5)

上述两个变换都是对连续函数进行分析,但是数字信号处理中的信号都是时间上离散的序列x(n),上面两个变换怎么映射到序列上去呢?

首先需要对连续信号进行抽样,进而得到离散序列x(n),假设抽样间隔为Ts那么由连续信号到离散信号的过程为:

xs(t)=n=x(t)δ(tnTs)=n=x(nTs)δ(tnTs)

上式中xs(t)x(t)在离散时刻mTs的样点值的集合。

考虑xs(t)的拉普拉斯变换:

Xs(s)=+xs(t)estdt=+[n=x(nTs)δ(tnTs)(t)]estdt=n=x(nTs)+δ(tnTs)estdt=n=x(nTs)esnTs=X(esTs)

如果令

z=esTs=e(σ+jΩ)Ts

并将x(nTs)简记为一般的离散序列x(n),可以得到:

X(z)=n=x(n)zn

这样拉普拉斯变换就变成了z变换。

我们知道傅里叶变换中的X(Ω)反映的是信号的频谱(包括相频、幅频特性)。所以如果要从拉普拉斯变换分析连续信号的频谱特性,需要将拉普拉斯变换退化为傅里叶变换,也即是令σ=0。同理,如果想要得到离散序列的频谱,相应的z变换中的z=esTs=eσ+jΩ中的σ也要等于0。此时z变换变为:

X(ejΩTs)=+n=x(n)ejΩTsn

ω=ΩTs

可以得到

X(ejω)=+n=x(n)ejωn

这就是离散序列的傅里叶变换(DTFT)了。

(8)中的ω定义为“数字频率”,而Ω正是模拟角频率,由此可以得出,数字角频率,模拟角频率,以及模拟频率与采样频率的关系如下:

ω=ΩTs=Ωfs=2πffs

到了这里可以发现时域上数值已经离散,但是频域上还没有变成离散的,这不适合计算机处理,于是还需要将频谱也变成离散的,该如何变呢?(下次接着说)

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