100个门的打开与关闭问题

　　第一次，操作门1,2,3,4,...,100

　　第二次，操作门2,4,6,8,...,100

　　第三次，操作门3,6,9,12,...,99

　　第4次，操作门4,8,12,16,...,100

　　...

　　第100次，操作门100

　　上面操作的意思是：如果原来门市open的，就关掉它；如果原来是closed的，就打开它。第100次之后，哪些门市open的，哪些men是closed的。

 

解答：每一次操作都是操作门号可以整除操作序号的门（即操作序号是门号的因子），可见一个门被操作的次数等于其因子数，例如15被操作4次：分别是1，3，5，15次。

　　   可见，门最后的开关跟门号有几个因子有关，因子数为奇数则为开，因子数为偶数则为关。

　　  那么什么什么数由奇数个因子呢？例如36，它的因子有(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6)。注意(6,6)只仅仅贡献1个因子，从而使得36有奇数个因子。

　　  因此一个数只要不是某个数的平方，即两两配对，则必然有偶数个因子，若为某个数的平方必定为奇数个因子，所以1，4，9，16，25，36，49，64，81，100为open，其余为close。