【算法题目】约瑟夫环问题

　　题目来源：《剑指offer》面试题45

　　题目：0，1，。。。，n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

　　

解法一：经典解法，用环形链表模拟圆圈。这种方法每删除一个数字需要m步运算，总共有n个数字，因此总的时间复杂度是O(mn).同时这种思路还需要一个辅助链表来模拟圆圈，其空间复杂度是O(n)。

int LastRemaining(unsigned int n, unsigned int m) {
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;

    list<int> nums;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums.push_back(i);

    list<int>::iterator iter = nums.begin();
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 1; j < m - 1; ++j) {
            iter++;
            if (iter == nums.end())
                iter = nums.begin();
        }
        list<int>::iterator next = ++iter;
            --iter;
        if (next == nums.end())
            next = nums.begin();
        nums.erase(iter);
        iter = next;
    }

    return *iter;
}

 

解法二：

　　我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

　　

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n, m, i, s = 0;
    printf ("N M = ");
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        s = (s + m) % i;
    }
    printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}

 

参考资料：

　　1. http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html