大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）

转自：http://blog.csdn.net/chhuach2005/article/details/21168179

1.题目

       编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。

2.题目分析

       该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,  

       但其实现需要配 合字符串模拟加减法操作，实现较为复杂，

    参考博客1http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901 

    FFT算法则更为复杂，较少适用，有兴趣

    参考博客2 http://blog.csdn.net/hondely/article/details/6938497

        和博客3http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/12613287。

        普通大数乘法算法，主要有逐位相乘处理进位法、移位进位法，下面对其进行介绍并优化。

3.题目解答

3.1 逐位相乘处理进位法

        参考博客4的思路

        乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C = A * B = (7 * 5, 1 * 5 + 2 * 7, 1 * 2) = (35, 19, 2) = (5, 22, 2) = (5, 2. 4)=425。

原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

     原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：

头文件和数据结构：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string>  
  3. #include <vector>  
  4. #include <stdlib.h>  
  5. using namespace std;  
  6. struct bigcheng  
  7. {  
  8.     vector<int> a;  
  9.     vector<int> b;  
  10.     string result_str;  
  11. };  
  12. void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转  
  13. void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0  
  14. void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转  


（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)  
  2. {  
  3.     int size_a=a.size();  
  4.     int size_b=b.size();  
  5.     for (int i=size_a-1;i>=0;i--)  
  6.     {  
  7.         tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');  
  8.     }  
  9.     for (int i=size_b-1;i>=0;i--)  
  10.     {  
  11.         tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');  
  12.     }  
  13. }  

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；代码为：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
  2. {  
  3.     for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)  
  4.     {  
  5.         for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)  
  6.         {  
  7.             result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);  
  8.         }  
  9.     }  
  10.     for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)  
  11.     {  
  12.         if (result_num[i]!=0)  
  13.         {  
  14.             break;  
  15.         }  
  16.         else  
  17.             result_num.pop_back();  
  18.     }  
  19.     int c=0;  
  20.     for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位  
  21.     {  
  22.         result_num[i]+=c;  
  23.         c=result_num[i]/10;  
  24.         result_num[i]=result_num[i]%10;  
  25.     }  
  26.     if (c!=0)  
  27.     {  
  28.         result_num.push_back(c);  
  29.     }  
  30. }  

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
  2. {   int size=result_num.size();  
  3.     for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)  
  4.     {  
  5.         tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));  
  6.     }  
  7. }  


主函数为：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. int main()  
  2. {  
  3.        bigcheng tempcheng;  
  4.     string a,b;  
  5.     cin>>a>>b;  
  6.     chartonum(a,b,tempcheng);  
  7.     vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);  
  8.     multiply(tempcheng,resultnum);  
  9.     numtochar(tempcheng,resultnum);  
  10.     cout<<tempcheng.result_str<<endl;  
  11.     system("pause");  
  12.     return 0;  
  13. }  


     上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：

（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；

（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；

（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。

     优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：

头文件和数据结构：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string>  
  3. #include <vector>  
  4. #include <stdlib.h>  
  5. #include <assert.h>  
  6. using namespace std;  
  7. struct bigcheng2  
  8. {  
  9.     string a;  
  10.     string b;  
  11.     string result_str;  
  12. };  
  13. void reverse_data( string &data)；//字符串反转  
  14. void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘  

字符串反转：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. void reverse_data( string &data)  
  2. {  
  3.     char temp = '0';  
  4.     int start=0;  
  5.     int end=data.size()-1;  
  6.     assert( data.size()&& start <= end );  
  7.     while ( start < end )  
  8.     {  
  9.         temp = data[start];  
  10.         data[start++] = data[end];  
  11.         data[end--] = temp;  
  12.     }  
  13. }  


两数相乘：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)  
  2. {  
  3.     reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转  
  4.     reverse_data(tempcheng2.b);  
  5.     int c=0;  
  6.     string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符  
  7.     for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)  
  8.     {  
  9.         unsigned int j;  
  10.         for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)  
  11.         {  
  12.             c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果  
  13.             temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符  
  14.             c=c/10;  
  15.         }  
  16.         while(c)  
  17.         {  
  18.             temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符  
  19.             c=c/10;  
  20.         }  
  21.     }  
  22.     for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)  
  23.     {  
  24.         if (temp[i]!='0')  
  25.             break;  
  26.         else  
  27.             temp.pop_back();  
  28.     }  
  29.     reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa  
  30.     tempcheng2.result_str=temp;  
  31. }  

主函数：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. int main()  
  2. {  
  3.        bigcheng2 tempcheng2;  
  4.        string a,b;  
  5.        cin>>a>>b;  
  6.        tempcheng2.a=a;  
  7.        tempcheng2.b=b;  
  8.        multiply2(tempcheng2);  
  9.        cout<<tempcheng2.result_str<<endl;  
  10.        system("pause");  
  11.        return 0;  
  12. }  

3.2 移位进位法

       移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：

 

　　按照乘法的计算过程来模拟计算：

　　　　   1 2

　　　　× 3 6

　　 ---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。

　　　　　71 2  --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？

　　　　3 6

　   -----------

　　　　413  2

        其代码优化如下：

 

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string>  
  3. #include <vector>  
  4. #include <stdlib.h>  
  5. #include <assert.h>  
  6. using namespace std;  
  7. void reverse_data( string &data);//字符串反转  
  8. void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );  
  9. void reverse_data( string &data)  
  10. {  
  11.     char temp = '0';  
  12.     int start=0;  
  13.     int end=data.size()-1;  
  14.     assert( data.size()&& start <= end );  
  15.     while ( start < end )  
  16.     {  
  17.         temp = data[start];  
  18.         data[start++] = data[end];  
  19.         data[end--] = temp;  
  20.     }  
  21. }  
  22. void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )  
  23. {  
  24.     reverse_data(lhs);  
  25.     reverse_data(rhs);  
  26.     int i = 0, j = 0, res_i = 0;  
  27.     int tmp_i = 0;  
  28.     int carry = 0;  
  29.   
  30.     for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )  
  31.     {  
  32.         res_i = tmp_i;  //在每次计算时，结果存储的位需要增加  
  33.         for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )  
  34.         {  
  35.             carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。  
  36.             result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );  
  37.             carry /= 10;  
  38.         }  
  39.         while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理  
  40.         {  
  41.             result[res_i++] = (carry % 10 + '0');  
  42.             carry /= 10;  
  43.         }  
  44.     }  
  45.     for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)  
  46.     {  
  47.         if (result[i]!='0')  
  48.             break;  
  49.         else  
  50.             result.pop_back();  
  51.     }  
  52.         reverse_data(result);  
  53. }  
  54. int main()  
  55. {  
  56.     string a,b;  
  57.     cin>>a>>b;  
  58.     string result(a.size()+b.size(),'0');  
  59.     compute_value(a,b,result);  
  60.     cout<<result<<endl;  
  61.     system("pause");  
  62.     return 0;  
  63. }  

 

 

 

 

3.3大数相乘优化

 

 

3.2 移位进位法中的反转字符串其实不必要的，只需从数组的后面开始计算存储即可，下面实现代码：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. char* bigcheng1(char *p1,char *p2)  
  2. {  
  3.     if (check(p1)||check(p2))  
  4.         throw exception("Invalid input!");  
  5.     int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;  
  6.     char *p3=new char[index1+index2+3];  
  7.     memset(p3,'0',index1+index2+2);  
  8.     p3[index1+index2+2]='\0';  
  9.     for (;index2>=0;--index2)  
  10.     {  
  11.         for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)  
  12.         {  
  13.             int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算  
  14.             p3[index1+index2+1]=num%10+'0';  
  15.             carry=num/10;  
  16.         }  
  17.         int i=0;  
  18.         while(carry)  
  19.         {  
  20.             p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同  
  21.             carry/=10;  
  22.         }  
  23.         index3=index1+index2+1+i;  
  24.     }  
  25.     while(index3>=0)  
  26.         p3[index3--]='0';  
  27.     return p3;  
  28. }  



或者下面这样，其实是一样的，下面的相加、相减、相除一样的思路啦

 

 

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. char* bigcheng(char *p1,char *p2)  
  2. {  
  3.     if (check(p1)||check(p2))  
  4.         throw exception("Invalid input!");  
  5.     int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;  
  6.     char *p3=new char[index1+index2+3];  
  7.     memset(p3,'0',index1+index2+2);  
  8.     p3[index1+index2+2]='\0';  
  9.     for (;index2>=0;--index2)  
  10.     {  
  11.         for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)  
  12.         {  
  13.             int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算  
  14.             if (num>=10)  
  15.             {  
  16.                 carry=num/10;  
  17.                 num%=10;  
  18.             }  
  19.             else carry=0;  
  20.             p3[index1+index2+1]=num+'0';  
  21.         }  
  22.         int i=0;  
  23.         while(carry)  
  24.         {  
  25.             p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同  
  26.             carry/=10;  
  27.         }  
  28.         index3=index1+index2+1+i;  
  29.     }  
  30.     while(index3>=0)  
  31.         p3[index3--]='0';  
  32.     return p3;  
  33. }  



 

 

 

3.4运行结果

        运行结果如图1、图2所示

   

                    图1    

 

                                                                    图2

3.5 大数相加

check合法性校验，校验字符串中是否有非数字。
[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. bool check(char *p)  
  2. {  
  3.     if (!p)  
  4.     {  
  5.         return 1;  
  6.     }  
  7.     int i=0;  
  8.     while(p[i]!='\0')   
  9.     {  
  10.         if (p[i]<'0'||p[i]>'9')  
  11.         {  
  12.             return 1;  
  13.         }  
  14.         else ++i;  
  15.     }  
  16.     return 0;//合法  
  17. }  

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. char* bigadd(char *p1,char *p2)  
  2. {  
  3.     if (check(p1)||check(p2))  
  4.     {  
  5.         throw exception("Invalid input!");  
  6.     }  
  7.     int len1=strlen(p1);  
  8.     int len2=strlen(p2);  
  9.     int len3=max(len1,len2)+1;  
  10.     char *p3=new char[len3+1];  
  11.     memset(p3,'0',len3);  
  12.     p3[len3]='\0';  
  13.     int index1=len1-1,index2=len2-1,index3=len3-1;  
  14.     int carry=0;  
  15.     while(index1>=0&&index2>=0)  
  16.     {  
  17.         int num=p1[index1--]-'0'+p2[index2--]-'0'+carry;  
  18.         if (num>=10)  
  19.         {  
  20.             carry=1;  
  21.             num-=10;  
  22.         }  
  23.         else  
  24.             carry=0;  
  25.         p3[index3--]=num+'0';  
  26.     }  
  27.     while(index1>=0)  
  28.     {  
  29.         int num=p1[index1--]-'0'+carry;  
  30.         if (num>=10)  
  31.         {  
  32.             carry=1;  
  33.             num-=10;  
  34.         }  
  35.         else  
  36.             carry=0;  
  37.         p3[index3--]=num+'0';  
  38.     }  
  39.     while(index2>=0)  
  40.     {  
  41.         int num=p1[index2--]-'0'+carry;  
  42.         if (num>=10)  
  43.         {  
  44.             carry=1;  
  45.             num-=10;  
  46.         }  
  47.         else  
  48.             carry=0;  
  49.         p3[index3--]=num+'0';  
  50.     }  
  51.     p3[index3]=carry?'1':'0';  
  52.     return p3;  
  53. }  


3.6大数相减

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. char* bigminus(char *p1,char *p2,bool &flag)  
  2. {  
  3.     if (check(p1)||check(p2))  
  4.     {  
  5.         throw exception("Invalid input!");  
  6.     }  
  7.     flag=0;//正数默认  
  8.     if (strlen(p1)<strlen(p2))  
  9.     {  
  10.         flag=1;  
  11.         char *tmp=p1;  
  12.               p1=p2;  
  13.               p2=tmp;  
  14.     }  
  15.     else if (strlen(p1)==strlen(p2))  
  16.     {  
  17.         if (strcmp(p1,p2)<0)  
  18.         {  
  19.             flag=1;  
  20.             char *tmp=p1;  
  21.             p1=p2;  
  22.             p2=tmp;  
  23.         }  
  24.     }  
  25.     int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3=strlen(p1);  
  26.     char *p3=new char[strlen(p1)+2];  
  27.     memset(p3,'0',index3+1);  
  28.     p3[index3+1]='\0';  
  29.     int carry=0;  
  30.     while(index1>=0&&index2>=0)  
  31.     {  
  32.         int num=p1[index1--]-p2[index2--]-carry;  
  33.         if (num<0)  
  34.         {  
  35.             carry=1;  
  36.             num+=10;  
  37.         }  
  38.         else carry=0;  
  39.         p3[index3--]=num+'0';  
  40.     }  
  41.     while(index1>=0)  
  42.     {  
  43.         int num=p1[index1--]-'0'-carry;  
  44.         if (num<0)  
  45.         {  
  46.             carry=1;  
  47.             num+=10;  
  48.         }  
  49.         else carry=0;  
  50.         p3[index3--]=num+'0' ;  
  51.     }  
  52.         int i=0;  
  53.         while(p3[i]=='0') ++i;  
  54.         if (flag)  
  55.         {  
  56.           p3[i-1]='-';  
  57.         }  
  58.     return p3;  
  59. }  


3.7大数相除

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. char* bigchu(char *p1,char *p2)//大数除，有问题，但思想是对的，关键怎么处理前面多样的0  
  2. {  
  3.     bool flag=0;  
  4.     char *tmp1=new char[strlen(p2)-strlen(p2)+1];  
  5.     char *tmp0=tmp1,*p3,*p4;  
  6.     memset(tmp1,'0',strlen(p2)-strlen(p2));  
  7.     tmp1[strlen(p2)-strlen(p2)]='\0';  
  8.     char *tmp2=bigminus(p1,p2,flag);  
  9.           p1=tmp2;   
  10.     while(!flag)  
  11.     {   
  12.   
  13.         p3=bigadd(tmp0,"1");  
  14.         tmp1=tmp0;  
  15.         tmp0=p3;          
  16.         delete []tmp1;  
  17.   
  18.         tmp2=bigminus(p1,p2,flag);  
  19.         p4=p1;  
  20.         p1=tmp2;   
  21.         delete []p4;  
  22.     }  
  23.     return tmp0;  
  24.       
  25. }  

3.8主函数测试

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
  2. {  
  3.     string a,b;  
  4.     while(1)  
  5.     {  
  6.         cin>>a>>b;  
  7.         char *p1=const_cast<char *>(a.c_str());  
  8.         char *p2=const_cast<char *>(b.c_str());  
  9.         bool flag=0;  
  10.         char *p3=bigadd(p1,p2);  
  11.         char *p4=bigminus(p1,p2,flag);  
  12.         char *p5=bigcheng1(p1,p2);  
  13.         //char *p6=bigchu(p1,p2);  
  14.   
  15.         //cout<<p3<<endl<<endl<<p4<<endl<<endl<<p5<<endl<<endl;  
  16.         cout<<p1<<endl<<"bigadd"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
  17.         printnum(p3);  
  18.         cout<<endl;  
  19.         cout<<p1<<endl<<"bigminus"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
  20.         printnum(p4);  
  21.         cout<<endl;  
  22.         cout<<p1<<endl<<"bigcheng1"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
  23.         printnum(p5);  
  24.         cout<<endl;  
  25.     }  
  26.     system("pause");  
  27.     return 0;  
  28. }  

测试结果如下：
posted @ 2015-03-14 22:38  vincently  阅读(348)  评论(0)  编辑  收藏  举报