高斯函数及其各阶导数

　　在图像处理中经常要用到高斯函数，高斯滤波是典型的低通滤波，对图像有平滑作用。高斯函数的一阶、二阶导数也可以进行高通滤波，比如canny算子中用到的是高斯函数的一阶导数，LOG算子中用到的是高斯函数的二阶导数。高斯函数的相关公式如下所示：

　　一维和二维高斯函数表达式分别为：　　  

　　  

　　二维高斯函数的一阶偏导数表达式为：

　　

　　二维高斯函数的二阶偏导数表达式为：

　　   

　　相应地，二维高斯函数的一阶、二阶梯度为：　

      

　　方向梯度为（角度取弧度）：

　　

　　将梯度函数进行离散，可以得到一阶和二阶的梯度算子，使用这些算子与图像进行卷积，可以求取图像的一阶、二阶梯度以及各方向梯度。