量子计算丨Superdense coding
Superdense coding是一种量子通信的方式。A和B共享一个纠缠态，发送者A通过更改自己的量子比特从而向接收者B传输经典比特的信息如(00,01,10 or 11)，下面简单介绍一下整个过程。
- 起初有一个双量子比特\(|B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)\)，它可以通过作用\(CNOT(H\otimes I|00>)\)获取。
\(|B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)\)又称EPR pair
其有一个性质：叠加态中，若第一个量子比特经测量坍塌到\(|0>\)，第二个量子比特也必然坍塌到\(|0>\)；反之亦然。
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假设有两个人A和B，他们相距很远。我们将该\(|B_{00}>\)的第一个比特分给A、第二个比特分给B。因此A获得叠加态比特\(q_A=\frac{1}{2}(|0>+|1>)\)，B获得叠加态比特\(q_B=\frac{1}{2}(|0>+|1>)\)，且\(q_A\)和\(q_B\)之间存在纠缠关系（该描述方式可能有误，因为EPR状态无法分解成两个单比特，它们的系数也不会是\(\frac{1}{2}\)，这里写出只为帮助理解）。因此\(|B_{00}>=\frac{1}{2}(|0_A0_B+1_A1_B>)\)。
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现在A想向B传输信息\(xy(xy=00,01,10 or 11)\)，但其只能操作自己的比特\(q_A\)，他该怎么办?
A通过量子门改变自己的比特\(q_A\)使\(|B_{00}>\)变为\(|B_{xy}>\)，并发送\(q_A\)；当B接收到\(q_A\)后即得到\(|B_{xy}>\)。
\(xy\) \(B_{00}\) \(q_A\) gate \(q_A\)(new) \(B_{xy}\) 00 \(\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(I=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)\) 01 \(\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(Z=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{matrix} \right]\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>-\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{matrix} \right]\) \(\mid B_{01}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>-\mid \textbf{1}1>)\) 10 \(\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(X=\left[\begin{matrix} 0 &1 \\1&0 \end{matrix} \right]\) \(\frac{1}{2}(\mid 1>+\mid0>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{matrix} \right]\) \(\mid B_{10}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{1}0>+\mid \textbf{0}1>)\) 11 \(\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)\) \(\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(Z\ast X=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix} \right]\) \(\frac{1}{2}(\mid 1>-\mid0>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{matrix} \right]\) \(\mid B_{11}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{1}0>-\mid \textbf{0}1>)\) -
随后B再进行解码\(CNOT(H\otimes I)B_|xy>=|xy>\)，从而得到\(|xy>\)。
上述过程，A只改变了自身的一个量子位比特，就向B传输了两个比特的信息，若A和B之前没有共享纠缠态，这是不能发生的。
此外在安全性上，如果A和B之间有个C，他想窃取信息。但由于没有B的量子位，其无法从A发送的比特中得到任何信息。并且如果他测量A的量子位，B也会同时坍塌，这样B就会知道信息被窃听了。
