量子计算丨Superdense coding

Superdense coding是一种量子通信的方式。A和B共享一个纠缠态，发送者A通过更改自己的量子比特从而向接收者B传输经典比特的信息如(00,01,10 or 11)，下面简单介绍一下整个过程。

1. 起初有一个双量子比特$|B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)$，它可以通过作用$CNOT(H\otimes I|00>)$获取。

$|B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)$又称EPR pair
其有一个性质：叠加态中，若第一个量子比特经测量坍塌到$|0>$，第二个量子比特也必然坍塌到$|0>$；反之亦然。

1. 假设有两个人A和B，他们相距很远。我们将该$|B_{00}>$的第一个比特分给A、第二个比特分给B。因此A获得叠加态比特$q_A=\frac{1}{2}(|0>+|1>)$，B获得叠加态比特$q_B=\frac{1}{2}(|0>+|1>)$，且$q_A$和$q_B$之间存在纠缠关系（该描述方式可能有误，因为EPR状态无法分解成两个单比特，它们的系数也不会是$\frac{1}{2}$，这里写出只为帮助理解）。因此$|B_{00}>=\frac{1}{2}(|0_A0_B+1_A1_B>)$。

2. 现在A想向B传输信息$xy(xy=00,01,10 or 11)$，但其只能操作自己的比特$q_A$，他该怎么办?

   A通过量子门改变自己的比特$q_A$使$|B_{00}>$变为$|B_{xy}>$，并发送$q_A$；当B接收到$q_A$后即得到$|B_{xy}>$。

   $xy$	$B_{00}$	$q_A$	gate	$q_A$(new)	$B_{xy}$
   00	$\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)$	$\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$I=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)$
   01	$\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)$	$\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$Z=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{matrix} \right]$	$\frac{1}{2}(\mid 0>-\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{matrix} \right]$	$\mid B_{01}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>-\mid \textbf{1}1>)$
   10	$\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)$	$\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$X=\left[\begin{matrix} 0 &1 \\1&0 \end{matrix} \right]$	$\frac{1}{2}(\mid 1>+\mid0>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{matrix} \right]$	$\mid B_{10}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{1}0>+\mid \textbf{0}1>)$
   11	$\mid B_{00}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{0}0>+\mid \textbf{1}1>)$	$\frac{1}{2}(\mid 0>+\mid1>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right]$	$Z\ast X=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix} \right]$	$\frac{1}{2}(\mid 1>-\mid0>)=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{matrix} \right]$	$\mid B_{11}>=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \textbf{1}0>-\mid \textbf{0}1>)$

3. 随后B再进行解码$CNOT(H\otimes I)B_|xy>=|xy>$，从而得到$|xy>$。

上述过程，A只改变了自身的一个量子位比特，就向B传输了两个比特的信息，若A和B之前没有共享纠缠态，这是不能发生的。
此外在安全性上，如果A和B之间有个C，他想窃取信息。但由于没有B的量子位，其无法从A发送的比特中得到任何信息。并且如果他测量A的量子位，B也会同时坍塌，这样B就会知道信息被窃听了。

Reference:https://en.wikipedia.org/wiki/Superdense_coding