蝴蝶定理及其对高中解析几何的启示

蝴蝶定理及其对高中解析几何的启示

 

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摘要：

本文主要向读者介绍了蝴蝶定理的背景和一些典型的证明方法，并从一道高考题的证明过程中，总结出它对高中解析几何学的一些启示。

关键词：

二次曲线，射影几何，三点共线问题

名词解释：

    二次曲线：

平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到。

直线上三个点的单比：（AB，C）=

直线上四个点的复比（交比）：（AB，CD）=

正文：

一、蝴蝶定理的发展历程简介：

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

　　

1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：

任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。

1985年，蝴蝶定理传入中国。

接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。

同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。

接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。

1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。

关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。

至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的，当推用射影几何的方法，在下文中将会给予介绍。

二、蝴蝶定理的若干证明：

    初等几何法：

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，        

连接OX，OY，OM，SM，MT。

　　∵△AMD∽△CMB

　　∴AM/CM=AD/BC

　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC

　　∴AM/CM=AS/CT

　又∵∠A=∠C

　　∴△AMS∽△CMT

　　∴∠MSX=∠MTY

　　∵∠OMX=∠OSX=90°

　　∴∠OMX+∠OSX=180°

　　∴O，S，X，M四点共圆

　　同理，O，T，Y，M四点共圆

　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX

　　∴∠MOX=∠MOY ，

　　∵OM⊥PQ

　　∴XM=YM

 

射影几何法：

命题：

设L是一条二次曲线，弦AB，CD，相交于O，弦EF交AB于S，交CD于R，交AC于P，交BD于Q，则：

|ER|=|SF| |PR|=|SQ| |EP|=|QF|

证明：

    由二次曲线的射影理论可知交比（ES，PB）   

=（EQ，RF），所以：

即：

                 （1）

若|ER|=|SF|，则由（1）得

所以|EP|=|QF|，|PR|=|SQ|。

即

同理可证：

故：

（其中，若二次曲线L是圆，且点R，S与点O重合，则命题就是所谓的蝴蝶定理）

 

三、北京数学高考题对高中解析几何教学的启示：

    椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。

　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。

　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

　　求证： | OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

解：

（Ⅰ）、（Ⅱ）略

（Ⅲ）

证明：

设点P（p，o），点Q（q，o）。

　　由C，P，H共线，得

　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4

解得

P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共线，

同理可得

　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：

　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：

(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

 

本题是北京市数学高考题中非常经典的题目。命题人巧妙的将著名的蝴蝶定理“嫁接”到了椭圆中，让学生充分领悟到数学美的所在，用心良苦。

然而本题的第三小题却让许多学子乃至优秀的尖子生望而却步，传统的假设点坐标，代入椭圆方程联立求解的方法在这里显得十分笨拙，运算量很大。仔细推敲后发现，本题实际上考察到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到的不过是解析几何中的最基本的方法。

翻阅教材，笔者发现，教材中许多课后习题都涉及到了三点共线的问题，尽管题目相对容易，但是却充分体现了数学的思想方法。而且，不少题可以用多种方法求解，十分有益于学生开拓思维。

    一个蝴蝶定理，一个椭圆中的三点共线问题，可以把解析几何的许多重点知识、基础知识充分调动起来，组织起来，可以用平面间两点的距离公式，可以运用定比分点公式，还可以应用过两点的斜率公式。

遗憾的是，恰恰就是这样一个重要的问题，却被现在的高中学生和高中教师所忽视。许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路和规律。各种各样的复习资料，各种各地的模拟试卷，使得高中学生深陷题海难以自拔。无形之中，扼杀了学生的创造力，扼杀了学生对数学美，几何美的最本质的认识，扼杀了学生学习数学的兴趣。

就是这样一道考题，却折射出现在中学素质教育所存在的种种弊端，如何解放思想，勇敢大胆的改革“题海战术”，也许这道题能带给教育工作者一些反思和启示。

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