高观点下递推数列通项公式的推导及应用
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摘要：递推数列通项公式的推导及应用是高考的热点之一.随着新课程改革的推进，越来越多的高等数学知识进入高中课程，也进入高考，这就需要我们从高观点的角度出发寻找高等数学与中学数学的结合点，提高中学数学教学的深度.本文首先归纳总结中学数学中八种常见的递推数列通项公式推导方法，然后以高等数学的相关知识为工具，把它们推广到更一般的形式，并给出常系数线性与非线性递推数列、分式型递推数列等通项公式的一般解法.
关键词：递推数列；通项公式；不动点；特征方程；矩阵；Fibonacci数列；三角代换；Catalan数
1中学数学中几种常见的递推数列通项公式的推导方法
1.1 型，这类型的递推数列的通项公式推导常使用累乘法. 当 时， .
1.2 型，采用叠加法，
.
1.3 (p为常数且不为零)型，采用待定系数法，引入辅助函数 ，把递推数列变形为 ，则 为等比数列，那么 的通项也就不难得到.特别地，当 时，可采用叠加法.
1.4 ( p为常数且不为零))型，利用对数的运算法则，构造新的等差或等比数列.
例 已知数列 满足 ，求 的通项公式.
分析：对 两边取以10为底的对数，得 ，从而 ，得到新的等比数列 ，那么 的通项公式也就不难得到.
1.5 （ 为常数且不为零）型，常采用倒数变换或拆分变化的方法.
例 已知数列 满足 ，求 的通项公式.
分析： 可转化为 ，进行倒数变换得到 ，令 ，则得到新的递推数列 ，转化到1.3型，从而 的通项公式的都可以得到.
1.6 （ 为常数且不为零）型，这属于二阶齐次线性递归数列类型.这里仅对中学常见的 情况进行讨论，更一般的形式涉及到高等数学的知识，将随后给出.
分析：当 时，递推关系可以写成 ，即 ，则得到等比数列 ，首项为 ，公比为 ，
从而 ，此时问题转为1.2型.
1.7 （p、q、r为不为零的常数）型，这属于二阶非齐次线性递归数列类型，更一般的形式涉及到高等数学的知识，将随后给出.中学阶段常常使用换元法求解，限于篇幅，此处不做具体说明，有兴趣的读者可以参见《换元法求一类递推数列的通项公式》（陈健）一文.
1.8 （p,q,e,f为常数）型，这属于分式型递推数列类型，中学阶段常借助函数中的一个概念完成转化，更一般的形式涉及到高等数学的知识，将随后给出.
已知函数 ，满足 的x称为函数的不动点，此种求通项的方法称为不动点法.视 为x得到方程 ，此方程可有一个解或者两个解，也可能无解.
若无解，则数列为循环数列，周期性变化.若有解，求根，具体做法以实例说明.
例 已知数列 满足 ，求 的通项公式.
解析：令 得 ，则 、 .在 两边分别减去
，得:
二式相除得：
从而数列 是以 为首项，以 为
公比的等比数列，所以 ，整理得到 .
2 高观点下的推广
2.1 常系数线性齐次递推数列
常系数线性齐次递推关系是一种极其常见的递推关系类型，在实际生活中有着广泛的应用，前文中提到的1.6 型就是其较为简单的一种形式.
定义1形如 （1） 都是常数且 称为常系数线性齐次递推数列.， ， ， 是初始条件.
定义2方程 叫做递推数列（1）的特征方程，它的 个根 叫做递推数列（1）的特征根.
根据特征根的不同情况，可分三种情形讨论：
（1）特征根全是单根
定理1设递推数列（1）的特征根 互不相同，则递推数列（1）的通解是
.
证明：令 是递推数列任一解，那么 由它的初始条件 ， ， 完全确定，待定常数 由方程组
（*）
解出，方程组（*）的系数矩阵是
. 因为所有的特征根 都不相同，所以这个系数矩阵行列不为零，于是方程组（*）关于 有唯一的解，证毕.
例1 斐波那契（Fibonacci）数列， ,求通项公式 .
解：Fibonacci数列所对应的特征方程为 ，其特征根为 ，
通项公式 ，将 代入得， ，
所以 .
（2）特征根中有重根
定理2 设 是递推数列（1）的全部不同的特征根其重数分别为 （ ），那么递推数列（1）的通解为 ，其中 .
证明：由初始条件 ， ， 得到关于 的联立方程组，其系数矩阵行列式的值为 ，故可由初始条件唯一地确定 ，这说明递推数列（1）的任意解均可写成 的形式，其中 如前所示.
例2 求递推数列 的通项公式.
解：该递推数列所对应的特征方程为 ，其特征根为 ，其中-1是三重根，故一般解中对应-1这个根的部分是 ,而对一般解中对应2的部分是 .因此，递推数列的通项公式为 .
由初始条件，联立方程组解得 .
故通项公式为 .
（3）特征根中有复根（这种情形实际上已经包含在前两种情形中，但是为了计算的方便这里单独进行讨论）
定理3 设 , 是递推数列（1）特征根的一对复根，则这对共轭复根，对应的齐次解为 ，
其中 .
例3 求递推数列 的通项公式.
解：该递推数列对应的特征方程为 ，其特征根为
，故该递推数列的通项公式为 .
由初始条件联立方程 解得： .
故通项公式为： .
2.2 常系数线性非齐次递推数列
常系数线性非齐次递推关系也是一种常见的递推关系类型，前文中提到的1.2、1.3、1.7型就是其较为简单的几种形式.
定义3 形如 （2） 都是常数且 称为常系数线性齐次递推数列,其中 为对应的齐次部分， 为非齐次部分， ， ， 是初始条件.
定理4 常系数线性非齐次递推数列（2）的通解是（2）的一个特解加上其对应的齐次部分的通解.
证明：设序列 ， ， ，……， ，……和 ， ， ，……， ，……是（2）的解，则序列 ， ，……， ，……是齐次递推关系的解，即要求的非齐次递推关系的解等于齐次递推关系的解和一个非齐次递推关系特解的叠加.即 ， ，……， ，……是（2）的解.
例4 解线性非齐次递推数列 通项公式.
解：先求特解.假设 是一个解，则代入得到： ，解得 ，从而 是一个特解，接下来求出 的通解即可，限于篇幅，这里省略.
特别地，对于不同的非齐次部分，特解的求法往往都不一样，这里给出几种最常见的几种情况供参考.为了更好的说明，设 .
① 型，若 ，则可以假设特解为 ，如例4所示；若 ，即 是 的k重根，则可以假设特解为 .
② 型，可转化为 ，若 ，可以假设特解为 ， 为n的s次多项式；若 ，即1是 的k重根，则可以假设特解为 .
2.3 分式型递推数列（前文1.8型的推广）
定理5 设数列 满足初始条件 和如下递推关系
且 、 是特征方程组 的两复数解，其中
， ，
则（1）当 时：
.
（2）当 时：
.
其中
.
证明：略.
例5 已知数列 满足初始条件 和递推关系 ，
求通项公式 .
解：根据定理可知 ， ，考虑特征方程组
由定理可知：
.
例6 已知数列 满足初始条件 和递推关系 ，求通项公式 ，并计算 的值.
解：根据定理可知 , ，考虑特征方程
由定理可知：
，
特别的，对于二阶分式型递推数列，前文1.8给出了不动点法，作为推广现再给出一种矩阵法：
设数列{ }的首项为 ，且 （3）
其中a,b,c,d为常数，同时， ,我们称这个递推公式为分式递推公式，而数列{ }称为由分式递推公式给定的分式递推数列.可定义为：
= （p ） （4）
由（4）的递推关系和矩阵的乘方，存在 ，使
（5）
于是（5）就给出了数列{ }的通项矩阵表达式，余下就是求 .
定理6 设A= ，那么
1、 若A有两相异的特征根 ，则（3）的通项公式为：
. (6)
2、 若A有二重特征根 ，则（3）的通项公式为：
. (7)
证明：略.
例7 在数列 中 且 .
解：由题设设 A的特征多项式
有两个不相等的特征根2，5，由公式(4)得 .
2.4 其他
2.4.1 二元线性一阶递推数列
设两个数列 满足： 且 （8），
则由（8）式所确定的数列 称为二元线性一阶递推数列.
①若 ，则（8）式可以转化为一阶线性递推数列的情形.
②若b、c均不为零，由（8）式可得
.
令 ，则有 .于是问题转化为分式线性的通项公式的情形.
2.4.2 含根式的递推数列
某些含有根式的递推数列问题，用三角代换法去其根式，进而转化为我们熟知的递推数列问题.限于篇幅，这里简单的例析说明若干类型，以期抛砖引玉.
例8 数列 的项由递推方法定义如下： ，试证明：
数列 是单调的.（1981年第15届全苏中学生数学奥林匹克试题）
证明：易知 ,由 与三角公式 的类比，可作三角代换 ，由已知条件可得
，故数列 是单调递增的.
例9 数列 定义如下： ，
. 证明对于每个 ，
有 .（1989年第30届IMO备选题）
证明：根据数列 的递推式及首项易知，对 ，有 .注意到
相类似，故可作三角代换
，则
又
类似地，由 的类比，可作三角代换 ，
借助数列 的递推式及初始值，可求出 ，
，即题述不等式成立.
注：本题结论中的后一不等式 ，即为1990年匈牙利数学奥林匹克试题.
2.4.3 Catalan数
Catalan数是一种经典的递推关系，在现实生活中的应用颇广，这里作简单介绍，有兴趣的读者可以进一步参见《组合数学》一书.
定理7 Catalan数 满足以下递推关系：
① ；
② .
并且Catalan数通项公式为 .
参考文献：
[1] 宋立温. 用特征根法求常系数线性递推数列的通项 [J]. 山东电大学报，2007，（2）
[2] 卞祖菼. 用特征方程组求一类分式型递推数列的通项公式 [J]. 中学数学教学，1999增刊
[3] 欧云华. 矩阵与分式递推数列的结合点 [J]. 益阳师专学报，2001，（5）
[4] 邓勇. 递归数列通项与不动点原理 [J]. 喀什师范学院学报，2008,（5）
[5] 李春雷. 含有根式的递推数列问题求解策略 [J]. 数学通报，2006，（21）
