数据结构与算法之美 03 | 复杂度分析(上)

复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

    复杂度分析是整个算法的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

    为什么需要复杂度分析？
        1、程序测试结果非常依赖测试环境
        2、测试结果受数据规模的影响很大

    我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略的估计算法的执行效率的方法，
    就是时间、空间复杂度分析方法。


    大O复杂度表示法

    Go语言示例代码：
        func cal(n int) (sum int) {
            sum = 0
            for i:=0; i<=n; i++ {
                sum = sum + i
            }
            return sum
        }
    假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time
    第 2 行代码需要 1 个 unit_time 的执时间，第3、4行都运行了n遍，所以需要2*unit_time执行时间，
    所以这段代码总的执行时间为(2n+1)*unit_time，可以看出所有代码的执行时间（Tn）与每行代码的执行次数成正比。

    T(n) = O(f(n))
    T(n): 代码执行的时间，n表示数据规模的大小
    f(n): 每行代码执行的次数总和
    O：表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达示成正比

    因此上面的示例T(n) = O(2n+1), 这就是大O时间复杂度表示法,
    大O时间复杂度并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，
    所以叫"渐进时间复杂度"，简称"时间复杂度"

    通常，公式中的 底数、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。
    用大O表示法表示上面代码的时间复杂度: T(n) = O(n)

    Go语言示例代码：
        func cal(n int) (sum int) {
            sum = 0
            for i:=0; i<=n; i++ {
                for j:=0; j<=i; j++ {
                    sum = sum + i * j
                }
            }
            return sum
        }
    用大O表示法表示上面代码的时间复杂度: T(n) = O(n*n)

    时间复杂度分析的3个方法：
        1、至关注循环执行次数最多的一段代码
        2、总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
        3、嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

    几种常见时间复杂度实例：

        多项式量级
            1、常量阶 O(1)
            2、对数阶 O(log*n) .... a的x次方=n，那么x叫做以a为底n的对数(logarithm),记作 x=loga*n
                实例代码：
                    for i:=0 ; i<=n; {
                        i = i * 3
                    }
            3、线性阶 O(n)
            4、线性对数阶 O(n*log*n)
            5、平方阶 O(n*n), 立方阶, K次方阶

        非多项式量级
            1、指数阶 O(2的n次方)
            2、阶乘阶 O(n!)

        当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，
        求解问题的执行时间会无线增长，所以非多项式时间复杂度算法效率非常低。