[SCOI2005]最大子矩阵

Description

　　这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵
不能相互重叠。

Input

　　第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的
分值的绝对值不超过32767)。

Output

　　只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。

Sample Input

3 2 2
1 -3
2 3
-2 3

Sample Output

9

Solution

很明显的一点就是DP，可以发现m很小，而且只有两种情况，所以我们可以分情况讨论。

首先第一个\(m=1\)的时候，题意就变成了给你一串数让你选k段使它的和最大，我们可以直接\(O(nk)\)DP出来。大体方法就是用\(f[i][j][0]\)表示这一个数空下，\(f[i][j][1]\)表示选这一个数，那么我们得到DP方程为：

\(f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1])\)

\(f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1])+t\)

之后扫一遍数组求出一个maxans就可以了。

对于\(m=2\)的时候明显我们依然可以使用上面的方法，当然也可以用前缀和进行递推，不过复杂度不是非常优秀，用上面的方法我们仍然可以做到\(O(nk)\)得出答案。

我们用\(f[i][j][0]\)表示空过这一行，\(f[i][j][1]\)表示只选这一行左边的数，\(f[i][j][2]\)表示只选右边的数，\(f[i][j][3]\)表示把这一行的两个数当成两个竖着的矩形选择，\(f[i][j][4]\)表示把这一行的两个数放到一个矩形里。

不难得出我们的5个Dp方程分别为：

\(f[i][j][0]=maxx(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j][4])\)

\(f[i][j][1]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4])+t1\)

\(f[i][j][2]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4])+t2\)

\(f[i][j][3]=maxx(f[i-1][j-2][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j-2][4])+t1+t2\)

\(f[i][j][4]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j-1][3],f[i-1][j][4])+t1+t2\)

然后依然是扫一遍数组输出即可。

Code

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
int f[101][11][5],g[101][101],a[101][3],t,t1,t2;
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-') c*=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
inline int maxx(int a1,int a2,int a3,int a4,int a5)
{
	return max(max(max(max(a1,a2),a3),a4),a5);
}
int main() 
{
    n=read();m=read();k=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    	for(re int j=1;j<=m;j++)
    		a[i][j]=read();
    if(m==1){
    	for(re int i=1;i<=n;i++)
    		for(re int j=1;j<=min(k,i);j++){
    			t=a[i][1];
    			f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0])+t;
    			f[i][j][0]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j][0]);
    		}
    	int ans=0;
    	for(re int i=1;i<=k;i++)
    		ans=max(f[n][i][0],f[n][i][1]);
    	cout<<ans;
    	return 0;
    }
    else {
    	memset(f,-inf,sizeof(f));
    	for(re int i=0;i<=n;i++)
    		for(re int j=0;j<=k;j++)
    			f[i][j][0]=0;
		for(re int i=1;i<=n;i++){
    		for(re int j=1;j<=k;j++){
    			t1=a[i][1];t2=a[i][2];
    			f[i][j][0]=maxx(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j][4]);
    			f[i][j][1]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4])+t1;
    			f[i][j][2]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4])+t2;
    			f[i][j][3]=maxx(-inf,-inf,f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3])+t1+t2;
    			if(j>=2) f[i][j][3]=maxx(-inf,-inf,f[i][j][3],f[i-1][j-2][0]+t1+t2,f[i-1][j-2][4]+t1+t2);
    			f[i][j][4]=maxx(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j-1][3],f[i-1][j][4])+t1+t2;
    		}
    	}
    }
    int ans=0;
    for(re int i=1;i<=k;i++)
    	ans=maxx(f[n][i][0],f[n][i][1],f[n][i][2],f[n][i][3],f[n][i][4]);
    cout<<ans;
    return 0;
}