BZOJ4827: [Hnoi2017]礼物

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题目描述

传送门

题目分析

发现题目中的式子貌似是让在求

\[\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_{i+k}+C)^2 \]

可以大力展开这个式子。
然后发现有关于\(C\)的项都可以\(O(1)\)求，二次项也可以\(O(1)\),就只剩下一个\(-2\sum_{i=1}^{n}x_iy_{i+k}\)不是很好。

当然可以\(n^2\)枚举，然后问\(gay哥\)为啥见着这种式子就可以往FFT上想。

考虑卷积的一般形式是\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}f(n-i)·g(i)\),所以可以把前面的那一项反过来，然后破环成链倍长，之后n+1~n+n项中的最大值就是我们要求的最大值。

是代码呢

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=4e5+7;
const double pi=acos(-1);
const int inf=1e9+7;
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
struct Complex{
	double x,y;
	Complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
	friend Complex operator +(Complex a,Complex b){
		return Complex(a.x+b.x,a.y+b.y);
	}
	friend Complex operator -(Complex a,Complex b){
		return Complex(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend Complex operator *(Complex a,Complex b){
		return Complex((a.x*b.x)-(a.y*b.y),(a.x*b.y)+(a.y*b.x));
	}
}a[MAXN],b[MAXN];
int n,m,len,r[MAXN],N,l,s1[MAXN],s2[MAXN],s[MAXN],mx=-inf,ans=inf;
inline void FFT(Complex *A,int type)
{
	for(int i=0;i<N;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int mid=1;mid<N;mid<<=1){
		Complex wn(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
		for(int R=mid<<1,j=0;j<N;j+=R){
			Complex w(1,0);
			for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
				Complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
				A[j+k]=x+y;A[j+k+mid]=x-y;
			}
		}
	}
}
inline void init()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) s1[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) s2[i]=read();
	N=n-1;len=n+n-1;
	for(int i=0;i<=N;i++) a[i].x=s1[i+1];
	for(int i=0;i<n;i++) b[i].x=b[i+n].x=s2[n-i];
	len+=N;
}
int main()
{
	init();
	N=1;
	while(N<=len) N<<=1,l++;
	for(int i=0;i<N;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	FFT(a,1);FFT(b,1);
	for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,-1);
	for(int i=0;i<=len;i++) s[i]=(int)(a[i].x/N+0.5);
	int p1=0,p2=0,t1=0,t2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) p1+=s1[i]*s1[i],p2+=s2[i]*s2[i],t1+=s1[i],t2+=s2[i];
	for(int i=1;i<n+n;i++) mx=max(mx,s[i]);
	for(int C=-m;C<=m;C++){
		int sum=p1+p2+n*C*C+2*C*t1-2*C*t2-2*mx;
		ans=min(sum,ans);
	}
	printf("%d",ans);
}