分治实例（一）求解正整数n划分成一系列正整数之和的种类数量

问题

整数划分问题，是将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。

例如，正整数6有如下11种不同的划分：

6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1

思路

如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系：

q(n,m) = | 1 　　　　　　　　　　m,n = 0

　　　　| q(n,n) 　　　　　　　　n < m

　　　　| 1 + q(n,n-1)　　　　　   n = m

　　　　| q(n,m-1) + q(n,m) 　　   n > m > 1

正整数n的划分数p(n)=q(n,n)

Python3的实现

def partition(n: int) -> list:
    """
    整数划分问题
    将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
    正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。
    如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
    q(n,m) = | 1                     m,n = 0
             | q(n,n)                n < m
             | 1 + q(n,n-1)          n = m
             | q(n,m-1) + q(n,m)     n > m > 1
    正整数n的划分数p(n)=q(n,n)
    例如，正整数6有如下11种不同的划分：
    6；
    5+1；
    4+2，4+1+1；
    3+3，3+2+1，3+1+1+1；
    2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
    1+1+1+1+1+1
    :param n:
    :return: 返回多少种划分种类
    """
    return partition_1(n,n)


def partition_1(n: int,m: int) -> list:
    """
    整数划分问题
    将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
    正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。
    如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
    q(n,m) = | 1                     m,n = 0
             | q(n,n)                n < m
             | 1 + q(n,n-1)          n = m
             | q(n,m-1) + q(n,m)     n > m > 1
    正整数n的划分数p(n)=q(n,n)
    例如，正整数6有如下11种不同的划分：
    6；
    5+1；
    4+2，4+1+1；
    3+3，3+2+1，3+1+1+1；
    2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
    1+1+1+1+1+1
    :param n:
    :param m: 最大划分数字不超过m的划分数
    :return: 返回多少种划分种类
    """
    if n <= 0:
        return -1
    else:
        if n == 1 or m == 1:
            return 1  # 边界条件
        elif n < m:
            return partition_1(n, n)  # 递归方程
        elif n == m:
            return 1 + partition_1(n, n-1)  # 递归方程
        else:
            return partition_1(n, m-1) + partition_1(n-m, m)  # 递归方程