五大常见算法策略之——递归与分治策略
递归与分治策略
递归与分治策略是五大常见算法策略之一，分治策略的思想就是分而治之，即先将一个规模较大的大问题分解成若干个规模较小的小问题，再对这些小问题进行解决，得到的解，在将其组合起来得到最终的解。而分治与递归很多情况下都是一起结合使用的，能发挥出奇效（1+1>2），这篇文章我们将先从递归说起，再逐渐向分治过渡，主要讲解方式是通过9个例题来说明问题的，问题都是根据难度由简到难，由浅入深，对递归与分治能有个大概的了解雏形，当然最重要还是要做大量练习才能掌握。
0、递归
0.0、Fibonacci数列(易)
0.1、阶乘(易)
0.2、小青蛙跳台阶(易)
0.3、全排列问题(偏难)
0.4、整数划分(偏难)
1、分治策略
1.0、归并排序(一般)
1.1、二分查找(易)
1.2、棋盘覆盖(偏难)
1.3、日程表问题(偏难)
递归
我们第一次接触递归一般都是在初学C语言时候的一道题目——Fibonacci数列中看到的，可能刚开始感觉有点不可思议，函数居然可以调用自己！Amazing！但事实如此，它确实存在，而递归也为我们某些算法的设计提供很大的便利，一般来说递归函数在理解起来并不是很难，甚至可以通过数学归纳法给予证明，但一直让人诟病的一点莫过于Debug的时候了，有时候调试一个较为复杂的递归函数能把人逼疯。
我们在这里将会由易到难，用一些例题先来讲解递归函数。采用Fibonacci数列来做这个引例来介绍递归函数。
Fibonacci
第一个数是1，第二个数也是1，从第三个数开始，后面每个数都等于前两个数之和。要求：输入一个n，输出第n个斐波那契数。
我们先来整理一下思路，分下面三步来看：
- 1、明确函数的输入和输出(即函数的作用)
- 2、明确递归终止条件
- 3、寻找函数的递归关系式
第一步，函数输入n，输出(也就是返回)第n个斐波那契数：
public static int fibonacci(int n){
}
第二步，明确递归终止条件：
public static int fibonacci(int n){
if(n == 1) return 1;
else if (n == 2) return 1;
}
第三步，寻找函数的递归关系：
public static int fibonacci(int n){
if(n == 1) return 1;
else if(n == 2) return 1;
else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
就这样，我们的一个斐波那契数列的递归函数就写完了。当然，这只是我们的一个开胃小菜，下面继续是入门级别的一个题，算阶乘。
阶乘
输入一个数，输出它的阶乘。我们同样用那三步往下走。
第一步，函数输入n，返回n的阶乘
public static int factorial(int n){
}
第二步，明确递归终止条件：
public static int factorial(int n){ //0的阶乘等于1
if(n == 0) return 1;
}
第三步，寻找函数的递归关系
public static int factorial(int n){ //0的阶乘等于1
if(n == 0) return 1;
else return factorial(n - 1) * n;
}
做完前两个你肯定会觉得这不是很简单吗，不要急，我们要由易到难，由浅入深，这样阶梯式的科学学习。下面这个例子是小青蛙跳台阶问题，这个问题被用于递归和动态规划类问题的例题，我们这里先用递归解答，后面还会用动态规划策略来解决这个问题。
小青蛙跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，求该青蛙跳上一个n级的台阶共有多少种跳法。
还是三步走，第一步，明确函数的输入及返回
public static int Jump_Floor1(int n){
}
第二步，明确递归终止条件
如果n=1，那小青蛙只能一次跳上第一节台阶，所以一种跳法，如果n=2，那小青蛙可以一次跳一节跳两次，或者直接一次跳两节，所以两种跳法。
public static int Jump_Floor1(int n){
if(n <= 2){
return n;
}
}
第三步，寻找函数的递归条件
这里可不能简单的return Jump_Floor1(n-1)就完事儿了，分了两种情况：1、第一次跳1级就还有n-1级要跳，2、第一次跳2级就还有n-2级要跳
public static int Jump_Floor1(int n){
if(n <= 2){
return n;
}else{ //这里涉及到两种跳法，1、第一次跳1级就还有n-1级要跳，2、第一次跳2级就还有n-2级要跳
return Jump_Floor1(n-1)+Jump_Floor1(n-2);
}
}
下面这个例题是排列问题，就是求出一组数的全排列。
全排列问题
我们在全排列问题种需要用到一个交换函数swap用于交换两个数的位置，作如下定义：k数组种元素为待排列元素，k和m为待交换两元素的下标
private static void swap(int a[], int k, int m){ //交换k和m下标的元素的值
int temp = a[k];
a[k] = a[m];
a[m] = temp;
}
接下来继续回到递归函数
第一步，明确函数的输入以及返回，这里我们需要输入待排列元素组成的数组，数组的第一个元素的下标，以及最后一个元素的下标
public static void perm(int a[], int k, int m){
}
第二步，明确递归终止条件,就是当只剩下一个元素时
public static void perm(int a[], int k, int m){
if(k == m) { //只有一个元素
for (int i = 0; i <= m; i++) {
System.out.print(a[i]+" ");
}
System.out.println();
}
}
第三步，寻找递归条件
public static void perm(int a[], int k, int m){
if(k == m) { //只有一个元素
for (int i = 0; i <= m; i++) {
System.out.print(a[i]+" ");
}
System.out.println();
}else{ //还有多个元素，递归产生排列
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(a,k,i); //排列到这个元素就要将其放在第一个位置
perm(a,k+1,m);
swap(a,k,i); //从此出口出去后还需要将刚刚调换的位置换回来
}
}
}
下面是递归这块的最后一个例题了，整数划分问题。
整数划分
说明一下问题，什么是整数划分？
- n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
- 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
- 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）
5 = 5
= 4 + 1
= 3 + 2
= 3 + 1 + 1
= 2 + 2 + 1
= 2 + 1 + 1 + 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1
编写程序，输入整数n,m，返回n的所有m的划分个数。
算法思路：我们用q(n,m)表示将n用不大于m的数字划分的方法的个数
- 1、n = 1时：只有一种划分法就是1
- 2、m = 1时：也只有一种划分法就是n个1相加
- 3、n < m时: 划分的方法也就只限于q(n,n)了，毕竟比n大的数也取不到嘛（不能取负数，要不然无限多了）
- 4、n = m时：就是1+(m-1)这一种情况加q(n,m-1)即1+q(n,m-1)。比如q(6,6)就是1+q(6,5)
- 5、n > m时：这种情况下又包含两种情况：
5(1)、划分中包含m时：即{m, {x1,x2,...xi}}(它们之和为n), 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，所以就是n-m的m划分，即q(n-m,m)
5(2)、划分中不包含m时:划分中所有的值都比m小，即q(n,m-1) - 因此第5中情况的划分为q(n-m,m)+1(n,m-1)
- 对第2中举例子详述：q(5,3):
(1)包含3: 1+1+3; 2+3; 既然每种情况都包含了3，那去掉3对其余各数相加为(5-3=)2的划分的个数和其相等，那就是对2(m=3)的划分了
(2)不包含3： 1+1+1+1+1; 1+1+1+2; 1+2+2;
第一步，明确函数输入和返回
public static int equationCount(int n, int m){
}
第二步，明确递归终止条件
public static int equationCount(int n, int m){
if (n < 1 || m < 1)
return 0;
if(n == 1 || m == 1)
return 1;
}
第三步，寻找递归关系
public static int equationCount(int n, int m){
if (n < 1 || m < 1)
return 0;
if(n == 1 || m == 1)
return 1;
if(n < m)
return equationCount(n,n);
if(n == m)
return equationCount(n,m-1)+1;
return equationCount(n-m,m)+equationCount(n,m-1); //n > m的情况
}
分治策略
分治策略的基本思想就是将一个规模为n的问题分解成k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归的解这些子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解，和这种说法最贴切的就是我们之前一篇文章介绍的归并排序法了，这篇文章里我们还会再引出一遍。
我们将分治策略解决问题的步骤归纳为：将大问题分解成子问题，分别解决子问题，再将子问题的解合并成大问题的解.
先看第一个典型的例子——归并排序
归并排序
这里我们对归并排序主要注重体现它分治策略的算法逻辑，而不过多深究这个排序算法是如何执行的，具体的图解归并排序请移步我的另一篇博文——数据结构之——八大排序算法。
归并排序的思想是，先将数组分割成为一个个小数组，直到每个小数组中只含有一个元素，那么在这一个小数组里面，这一个元素自然就是有序的，然后将其合并起来(由merge函数实现)，按从小到大的顺序，逐层向上，就是将小问题的解合并为大问题的解。
下面是将大问题分解成小问题的过程
/**
* 只要数组的大小不为1，就一直分割，直到不能分割为止（即数组长度为1），
* 不能分割后按照出入栈顺序，会将分割的小数组分别排序后归并起来
* @param data 待排序数组
* @param start 起始位置
* @param end 终止位置
*/
public static void merge_sort(int data[], int start, int end){
int mid = (start+end)/2;
if(start < end){
merge_sort(data,start,mid);
merge_sort(data,mid+1,end);
merge(data,start,mid,end);
}
}
下面是合并小问题的解，归并过程
/**
* 这个函数是将数组合并在一起的，其实并没有将数组真的分开，只是用start和end指示不同的元素，来达到分割的目的
* @param p 指示子数组1的元素
* @param q 指示子数组2的元素
* @param r 指示合并后数组的元素
* @param start start到mid是需要合并的子数组1
* @param mid
* @param end mid+1到end是需要合并的子数组2
*/
private static void merge(int data[], int start, int mid, int end){
int p = start, q = mid+1, r = 0;
int newdata[] = new int[end-start+1];
while(p <= mid && q <= end){
if(data[p] >= data[q]){ //从大到小排序
newdata[r++] = data[p++];
}else{
newdata[r++] = data[q++];
}
}
//此时，两个子数组中会有一个中元素还未被全部归并到新数组中，作如下处理
while(p <= mid){
newdata[r++] = data[p++];
}
while(q <= end){
newdata[r++] = data[q++];
}
//再将有序的数组中的值赋给原数组，其实也可以直接返回这个新数组
for (int i = start; i <= end; i++) {
data[i] = newdata[i-start];
}
}
二分查找
然后是分治策略的另一个经典例子———二分查找，顾名思义，就是在一个有序（从小到大）的数组中查找一个元素的位置，先从最中间将数组变为两个小数组，然后与中间值进行对比，如果相等直接返回，不相等又分两种情况，如果中间元素比待查找值小，就从后半个数组中继续二分查找，反之，从前半个数组中二分查找。
public static int Binary_Search(int []data, int x, int n){ //data为待搜索数组(有序)，x为待搜索元素，n为数组大小
int left = 0, right = n - 1; //指示左右的两个指示器
while(left <= right){ //left可以等于right，因为有可能刚好两个指示器同时指示到了待查找元素上
int mid = (left+right)/2;
if(data[mid] > x)
right = mid-1;
else if(data[mid] < x)
left = mid+1;
else return mid;
}
return -1; //表示查找失败
}
棋盘覆盖
下面我们逐渐加大难度，接下来这个问题叫做棋盘覆盖，我们先简单介绍一下这个问题。
在一个2^k × 2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4k种，因而有4k种不同的棋盘，图4.10(a)所示是k=3时64种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用图4.10(b)所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
图4.10(a)
图4.10(b)
在这里为了方便讲解，我们采用k=2时候的情况来说明这个问题，设初始情况为
第一次将其分割成四个小块，分成了四个子棋盘，以黄线为分割线
然后分别对其进行填充
填充完后，又可以将其分割
重复上述填充操作，即可对所有方格填充
当k更大的时候的过程可以参考这位大佬的博客棋盘覆盖问题，接下来我们用代码实现。
static int board[][] = new int[4][4]; //棋盘
static int tag = 1; //骨牌编号
/**
* 分治算法典例2———棋盘覆盖问题
* @date 2019/11/3 afternoon
* @param tr 棋盘左上角方格的行号
* @param tc 棋盘左上角方格的列号
* @param dr 特殊方格所在的行号
* @param dc 特殊方格所在的列号
* @param size 棋盘宽度
* @param s 当前棋盘宽度的一半
* @param tr+s 当前棋盘中间行的行号
* @param tc+s 当前棋盘中间列的列号
*/
public static void chess(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){
if(size == 1)
return;
int newtag = tag++;
int s = size / 2; //分割棋盘
//覆盖左上角子棋盘
if(dr < tr+s && dc < tc+s){ //特殊方格在此棋盘中
chess(tr,tc,dr,dc,s);
}else{ //此棋盘中无特殊方格
board[tr+s-1][tc+s-1] = newtag;
chess(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
}
//覆盖右上角子棋盘
if(dr < tr+s && dc >= tc+s){
chess(tr,tc+s,dr,dc,s);
}else{
board[tr+s-1][tc+s] = newtag;
chess(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
}
//覆盖左下角子棋盘
if(dr >= tr+s && dc < tc+s){
chess(tr+s,tc,dr,dc,s);
}else{
board[tr+s][tc+s-1] = newtag;
chess(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
}
//覆盖右下角子棋盘
if(dr >= tr+s && dc >= tc+s){
chess(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
}else{
board[tr+s][tc+s] = newtag;
chess(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
}
}
接下来的问题依然有一些难度，叫做打印日程表问题。
日程表问题
问题：设有n=2^k个选手参加循环赛，要求设计一个满足以下要求比赛日程表：
1）每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次；
2）每个选手一天只能赛一次。
分析，按照上面的要求，可以将比赛表设计成一个n行n-1列的二维表，其中第i行第j列的元素表示和第i个选手在第j天比赛的选手号。
采用分治策略，可将所有参加比赛的选手分成两部分，n=2^k 个选手的比赛日程表就可以通过n=2^（k-1） 个选手的的比赛日程表来决定。递归的执行这样的分割，直到只剩下两个选手，比赛日程表的就可以通过这样的分治策略逐步构建。
说个大白话就是：先默认构造日程表第一行，即0，1，2，3，...然后先分割日程表，将左上角复制到右下角，右上角复制到左下角
初始化第一行不做赘述，让chess[0][i] = i+1即可
下面在Excel中用图示做一演示
代码实现
/**
* 将比赛日程表设计成n行n列，表中除了第一列，其他n-1列才是我们要的，数组下标行列都从0开始，第i行j列代表第（i+1）位选手在第j天的对手：
* 表格初始化会将第一行按1到n一次填充，然后递归填充下面的，用左上角和右上角分别去填充右下角和左下角，因为要是对称矩阵（具体原因好好想想）
* @param p 表示行序号
* @param q 表示列序号
* @param t 表示当前传进函数方格的规模也就是大小
* @param arr 表格
*/
public static void arrange(int p, int q, int t, int arr[][]){
if(t>=4){ //如果规模大于4，就继续递归
arrange(p,q,t/2,arr);
arrange(p,q+t/2,t/2,arr);
}
//填左下角
for(int i=p+t/2;i<p+t;i++){
for(int j=q;j<q+t/2;j++){
arr[i][j]=arr[i-t/2][j+t/2];
}
}
//填右下角
for(int i=p+t/2;i<p+t;i++){
for(int j=q+t/2;j<q+t;j++){
arr[i][j]=arr[i-t/2][j-t/2];
}
}
}
