逆序对--P1966 火柴排队

*题意：两个数组$a$和$b$，使$\sum_{i=1}^n {(a_i-b_i)}^2$　最小

*思路：对于上述的完全平方公式，展开后变成$\sum_{i=1}^n {a_i}^2+{b_i}^2-2a_ib_i$，其中前两项为定值，我们继续变化$\sum_{i=1}^n {a_i}^2+{b_i}^2$-2$\sum_{i=1}^n a_ib_i$

只要令$\sum_{i=1}^n a_ib_i$越大越好，由此我们引入一个结论顺序之乘>=乱序之乘

*证明：设有序数列$x$,$y$，即有$x_1y_1+x_2y_2$>$x_1y_2+x_2y_1$

变形一下可得$x_1y_1-x_2y_1$>$x_1y_2-x_2y_2$ $\to$ $y_1(x_1-x_2)$>$y_2(x_1-x_2)$，因为$y_1$>$y_2$，第一个式子成立

由1及2,再到$n$，得出结论顺序之乘>=乱序之乘，甚至还有结论：同序和$\ge$乱序和$\ge$逆序和

*代码实现：让$a$，$b$数组全部升序排序，以$a_i$为关键字，对$b$进行排序，也就是说，$a$的最大对应$b$的最大,$a$的次大对应$b$的次大，$x_i$表示在$b$中的位置,$i$，表示的是在$a$中的位置，我们想让$a$与$b$序列相等，就希望$x$数组升序，所以答案就变成了求$x$数组的逆序对数

完整代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10,mod=1e8-3;
int n;
int q[maxn],sum[maxn];
struct node{
  int val,pos;
}a[maxn],b[maxn];
bool cmp(node x,node y){
  return x.val<y.val;
}
void fix(int x,int k){
  for (int i = x;i <= n;i+=i&(-i)) sum[i]+=k;
}
int query(int x){
  int res=0;
  for (int i = x;i >= 1;i-=i&(-i)) res+=sum[i];
  return res;
}
int main(){
  scanf ("%d",&n);
  for (int i = 1;i <= n;i++) {scanf ("%d",&a[i].val);a[i].pos=i;}
  for (int i = 1;i <= n;i++) {scanf ("%d",&b[i].val);b[i].pos=i;}
  sort(a+1,a+n+1,cmp);sort(b+1,b+n+1,cmp);
  for (int i = 1;i <= n;i++) q[a[i].pos]=b[i].pos;
  int ans=0;
  for (int i = n;i >= 1;i--){
    fix(q[i],1);
    ans+=query(q[i]-1);
    ans%=mod;
  }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}