数位dp--P2657 [SCOI2009] windy 数

预处理：$f_{i,j}$表示填了$i$位数，最高位为$j$的windy数的个数，显然有$f_{i,j}$=$\sum f_{i-1,k}$(|$j$-$k$|>=2)

void init(){
  for (int i = 0;i <= 9;i++) dp[1][i]=1;
  for (int i = 2;i <= 10;i++)
    for (int j = 0;j <= 9;j++)
      for (int k = 0;k <= 9;k++)
    if (abs(j-k)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}

由于windy数的性质，可以利用前缀和，比如我要求[a,b]内windy数的个数，我们可以求出$0-b+1$和$0-a$内的windy数的个数再相减，可以把答案分成三个部分，求长度为$len$,$a$范围内的windy数的个数

(1)先求$len-1$位的windy数的个数，必定包含在区间里

for (int i = 1;i <= len-1;i++)
    for (int j = 1;j <= 9;j++) ans+=dp[i][j];

(2)然后在看第$len$位，最高位<$a[len]$的windy数也一定包含在区间里

 for (int i = 1;i < a[len];i++) ans+=dp[len][i]; 

(3)最后看最高位相等的情况，$i$从$len-1$枚举,规定$i$之前的数都已确定，即前缀相同，如果相差>=2就加入到答案中

 for (int i = len-1;i >= 1;i--){
    for (int j = 0;j <= a[i]-1;j++){
      if (abs(j-a[i+1])>=2) ans+=dp[i][j];
    }
    if (abs(a[i+1]-a[i])<2) break;
  }

完整代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
int dp[15][15],a[20];
void init(){
  for (int i = 0;i <= 9;i++) dp[1][i]=1;
  for (int i = 2;i <= 10;i++)
    for (int j = 0;j <= 9;j++)
      for (int k = 0;k <= 9;k++)
    if (abs(j-k)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}
int solve(int x){
  memset(a,0,sizeof(a));
  int len=0,ans=0;
  while (x){
    a[++len]=x%10;
    x/=10;
  }
  for (int i = 1;i <= len-1;i++)
    for (int j = 1;j <= 9;j++) ans+=dp[i][j];
  for (int i = 1;i < a[len];i++) ans+=dp[len][i];
  for (int i = len-1;i >= 1;i--){
    for (int j = 0;j <= a[i]-1;j++){
      if (abs(j-a[i+1])>=2) ans+=dp[i][j];
    }
    if (abs(a[i+1]-a[i])<2) break;
  }
  return ans;
}
int n,m;
signed main(){
  scanf ("%lld%lld",&n,&m);
  init();
  cout<<solve(m+1)-solve(n)<<endl;
  return 0;
}