矩阵快速幂+实际应用--P3390 【模板】矩阵快速幂，P3938 斐波那契

*传送1，*传送2

矩阵并不是一个数而是可以表示一个比较复杂的模型（集合），而集合里封装着任意类型的值，而矩阵乘法则是一个比较重要的一个运算方式。

先说一下矩阵乘法的定义：

 也就是说，结果矩阵第$m$行与第$n$列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第$m$行与第二个矩阵第$n$列，对应的位置的每个值的乘积之和。

公式则是：其中$C_{ij}$为A的第$i$行与B的第$j$列对应的乘积的和，即：

$C_ij =Σa_ik*b_kj(1<=i<=n,1<=j<=n,1<=k<=n)$。

矩阵乘法的代码：

const int N=100;  
int c[N][N];  //c是最终的矩阵
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
{  
    memset(c,0,sizeof c);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
        　　for(int k=1;k<=n;k++)  
        　　　　c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
}

快速幂

求幂时我们常常会因结果太大而导致速度很慢，这时候我们就需要运用倍增的思想特殊的乘法应运而生————快速幂。

举个例子，如果$a_{10}$，我们需要求十次，而如果我们用了快速幂就可以把$a_{10}$转变为二进制的形式从而加快运算速度

引入一个定义*单位矩阵（对角线为1其余都为0，一个矩阵乘单位矩阵为它本身）

void qpow(long long k){ 
     for(int i=1; i<=n; i++)
        I.a[i][i]=1;                                                          
    while(k>0) {                                                              
        if(k%2==1) I=I*a;
        a=a*a;
        k=k>>1;
    }
}

本题的完整代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define maxn 105
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n;
struct mul{
    ll a[maxn][maxn]; 
}a,I;
mul operator *(const mul &x,const mul &y){     //重载运算符
    mul z;
    memset(z.a,0,sizeof(z.a));
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
    return z;
}
ll k;
inline void init(){
    scanf ("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf ("%lld",&a.a[i][j]);
}
void qpow(long long k){ 
     for(int i=1; i<=n; i++)
        I.a[i][i]=1;                                                          
    while(k>0) {                                                              
        if(k%2==1) I=I*a;
        a=a*a;
        k=k>>1;
    }
}
int main(){
    init();
    qpow(k);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j)
            printf("%d ",I.a[i][j]);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

在斐波那契数列之中

$f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]  f[i-1] = 1*f[i-1] + 0*f[i-2]$;

所以我们可以构建一个矩阵做幂运算后，可以得到我们需要的矩阵，求得的矩阵为：

1 1

1 0

所以这里我是直接求解n次幂，答案就是$a[0][1]$;

代码如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define maxn 105
#define mo 1000000007
using namespace std;
struct mul{
    ll a[maxn][maxn]; 
}a,I;
mul operator *(const mul &x,const mul &y){     //重载运算符
    mul z;
    memset(z.a,0,sizeof(z.a));
    for(int k=1;k<=2;k++)
        for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
    return z;
}
ll k;
inline void init(){
    scanf ("%lld",&k);
       a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][1]=1;  
    a.a[2][2]=0;
}
void qpow(long long k){ 
     for(int i=1; i<=2; i++)
        I.a[i][i]=1;                                                          
    while(k>0) {                                                              
        if(k%2==1) I=I*a;
        a=a*a;
        k=k>>1;
    }
}
int main(){
    init();
    qpow(k);
    cout<<I.a[1][2];
    return 0;
}