筛法--CF449C Jzzhu and Apples

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在做这道题之前，先了解一下欧拉筛：欧拉筛法的基本思想 ：在埃氏筛法的基础上（埃式筛法讲解可以阅读筛法--求1到100以内的素数），让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。

代码：

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(){
    mem(visit,0);
    mem(prime, 0);
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        cout<<" i = "<<i<<endl;
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

　　然后再来看这道题：最大公约数大于1，说明两个数不互质。而两个质数必然互质，两个合数不一定互不互质，一个质数只和他的倍数不互质。为了要求最大的匹配对数，我们可以用贪心的思想，把质数和他的倍数配对，而且我们知道一个数可以分解为几个质数相乘，所以我们只要找一遍所有<n/2的质数，就可以完成匹配。然后我们再考虑一个问题，配对必须是两两配对，所以当质数和他的倍数的个数之和为偶数，那么可以恰好配对，但如果个数之和为奇数，我们就需要考虑舍掉一个数，来完成两两配对，所以现在的问题就在于舍掉哪一个数。对于一个数，他可以由一个较大的质数*倍数但也可以由较小的质数*倍数，所以如果当前有一个数配不上对，我们就可以考虑到在一个更小的质数的情况下，能否配对。最小的质数为2，所以我们优先在奇数情况下，可以考虑把质数的两倍扔掉，一直到2，我们无路可退，那这个数必然配不上对。

代码如下(附注释)：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,prime[maxn >> 1],p[maxn],cnt;
int a[maxn], tmp, vis[maxn];
int ans[maxn][2], ret;
inline void oula(int n){//欧拉筛 
    cnt = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        if(!p[i])
            prime[++cnt] = i;//统计素数 
        for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; ++j){
            p[prime[j] * i] = 1;
            if(!(i % prime[j]))
                break;
        }
    }
}
int main(){
    scanf ("%d",&n);
    oula(n/2);
    for(int i = cnt; i; --i){
        tmp = 0;
        for(int j = prime[i]; j <= n; j += prime[i])
            if(!vis[j])//没有配过对 
                a[++tmp] = j;//记录素数的倍数 
        if(tmp & 1){//素数的倍数为奇数 
            swap(a[tmp], a[2]);//扔掉2倍 
            tmp--;
        }
        for(int j = 1; j <= tmp; j += 2){//配对 
            vis[a[j]] = vis[a[j + 1]] = 1;//标记已经配过对 
            ans[++ret][0] = a[j];//两个数的第一个数 
            ans[ret][1] = a[j + 1];//两个数的第二个数 
        }
    }
    printf("%d\n", ret);
    for(int i = 1; i <= ret; ++i)
        printf("%d %d\n", ans[i][0], ans[i][1]);
    return 0;
}