Floyd--P2419 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest

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　　FJ的$N(1 <= N <= 100)$头奶牛们最近参加了场程序设计竞赛:)。在赛场上，奶牛们按1..N依次编号。每头奶牛的编程能力不尽相同，并且没有哪两头奶牛的水平不相上下，也就是说，奶牛们的编程能力有明确的排名。 整个比赛被分成了若干轮，每一轮是两头指定编号的奶牛的对决。如果编号为A的奶牛的编程能力强于编号为B的奶牛$(1 <= A <= N; 1 <= B <= N; A != B)$ ，那么她们的对决中，编号为A的奶牛总是能胜出。 FJ想知道奶牛们编程能力的具体排名，于是他找来了奶牛们所有 $M(1 <= M <= 4,500)$轮比赛的结果，希望你能根据这些信息，推断出尽可能多的奶牛的编程能力排名。比赛结果保证不会自相矛盾。

　　看到$n<=100$按$floyd$的$n^3$做法还是可以的，毕竟$floyd$代码简略且少。

　　首先思考这道题，怎样才能确定一头牛的名次，显然是他与其他所有牛的输赢关系都确定。因为只有输赢两种情况，所以我们只要记录赢得情况就可以。输入$a$和$b$，$s[a][b]=1$表示$a$赢了$b$。这样预处理之后，就开始跑$floyd$。$floyd$代码如下（下面有解释）：

void Floyd()
{
    for (int t = 1;t <= n;t++)
    {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
        {
            for (int j = 1;j <= n;j++)
            {
                if (s[i][t]&&s[t][j])
                    s[i][j]=1;
            }
        }
    }
}

这里的t可以看做一个中转节点，如果i赢了t，且t赢了j，那么i就赢了j，这种简单逻辑还是可以推导出来的。然后我们就可以开始统计答案了。考虑一个问题，怎样知道两头牛之间的关系是否确定，s[i][j]=1表示i赢了j，两头牛的关系是确定的，s[j][i]=1表示j赢了i，两头牛的关系也是确定的，但是如果s[i][j]=0&&s[j][i]=0并不是说i输给了j，j输给了i，这显然是不成立的，而是根本没有确定。由于之前说过的，确定一头牛的名次根据是，他和所有牛的输赢关系都确定，所以只要有一个不确定我们就直接跳到下一个牛开始判断。这部分代码：

    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        int f=1;
        for (int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if (i==j)continue;
            if (s[i][j]==0&&s[j][i]==0)
            {
                f=0;
                break;
            }
        }
        if (f==1)
            ans++;
    }

整个代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,a,b;
int s[1000][1000];
int read()
{
    int x=1,a=0;
    char ch=getchar();
    while (ch < '0'||ch > '9')
    {
        if (ch == '-') x=-1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch <= '9'&&ch >= '0')
    {
        a=a*10 + ch - '0';
        ch=getchar();
    }
    return x*a;
}
void Floyd()
{
    for (int t = 1;t <= n;t++)
    {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
        {
            for (int j = 1;j <= n;j++)
            {
                if (s[i][t]&&s[t][j])
                    s[i][j]=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int ans=0;
    n=read();
    m=read();
    for (int i = 1;i <= m;i++) 
    {
        a=read();
        b=read();
        s[a][b]=1;
    }
    Floyd();
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        int f=1;
        for (int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if (i==j)continue;
            if (s[i][j]==0&&s[j][i]==0)
            {
                f=0;
                break;
            }
        }
        if (f==1)
            ans++;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}