四则运算（挑战出题）解答之轮子哥版-2

四则运算（挑战出题）解答之轮子哥版-2

上一次解读 轮子哥版本四则运算（挑战出题）的博客在 这里。但是，上次博客中只是针对交换律做解读，而轮子哥还考虑了结合律，在归一化部分体现。

尽可能左结合

在生成表达式时尽可能左结合。什么意思呢？

比如：

• 1+2+3 是左结合，其后缀表达式：12+3+
• 1+(2+3) 不是左结合，其后缀表达式：123++，我们要避免生成这样的表达式

为什么要这么做？

以上两个算式考虑结合律的情况下是相同的算式，但是后缀表达式不同，而我们目的是要简单通过后缀表达式是否相同来判断算式是否相同，所以生成的时候按规则左结合来避免这种情况。

好处？

对于string的比较和去重已经非常成熟，不需要我们重复造轮子，C++中 set<string> 就能搞定。

如果是构造表达式树（树结构）去重，要么需要对树进行翻转递归比较（效率低），要么需要自己对表达式树做可靠的hash（又是造轮子）后比较hash值。

怎么做？

我们是直接生成后缀表达式，从上面可以观察到连续生成+或者*不是我们想要的，所以在生成的过程中需要避免。

根据上一篇博客介绍，我们在生成过程中维护了表达式树的结构，我们在随机生成新的字符时，只需要观察右子树最后一个字符是什么（其实就是整个表达式最后一个字符），如果是+或者*，我们就避免重复生成。

归一化

• 使得相同表达式的后缀表达式是一样
• 交换律/结合律同时考虑（只有+和*运算符需要）
• 边生成边进行，而不是生成完了再来做

引用一段代码注释：

针对交换律和结合律进行归一化。
也就是说，无论是(1+2)*(3+4)还是(4+3)*(2+1)都将返回12+34+*。
因为"12+"<"34+"，所以顺序将会被调整，把小的放在左边。
因此在产生 (4+3)*(2+1) 的过程中
    完成43+就立即调整为34+
    完成21+就立即调整为12+
    完成34+12+*就立即调整为12+34+*

即在生成运算符（+或*）的时候来做该运算符所属的两棵子表达式的顺序调整（字符串排序），当前运算符的位置不变。

回到刚才的尽量左结合问题，在上述归一化过程中，可能会产生不是尽可能左结合的情况，比如：在产生+的情况下，当前表达式是23+1（两边的表达式分别是23+和1），直接调整后就是123++，不是左结合。

这种情况如何处理呢？

举例：

• 如果这次生成+，在向前分割表达式树时，如果还遇到运算符是+的表达式树，就继续分解下去，继续描述上述情况，即23+的运算符是+（与本次生成的运算符相同），应该继续被分解成2，3 两个子表达式，然后对各个子表达式进行排序，运算符位置不变，即得到12+3+。

  • 这里的1,2,3可以代表复杂的子表达式。

• 对于生成*的情况是相同的。

这部分代码位于：https://gist.github.com/vczh/2c058aed996effc0a519ed3d265a3eb5#file-xinz_expr_gen-cpp-L196

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看几个实际的例子

简单起始情况

• 假设已经产生的表达式：32
• 当前生成 * -> 32*（中缀表达式为 3 * 2）
• 乘法可交换，因此要拆分其左右表达式树，做排序
  • 往前拆分子表达式得到 3, 2
  • 排序 "2" < "3"， 得到 23
  • 做拆分的运算符位置都保持不变，得到 23* （中缀表达式为 2 * 3）

当前生成 + 时同理，即无论生成：

• 23+
• 32+

最后都会是 23+

稍复杂点

• 假设已经产生的表达式：85-4/712+-
• 当前生成 * -> 85-4/712+-*（中缀表达式为 (8-5)/4*(7-(1+2))）
• 乘法可交换，因此要拆分其左右表达式树，做排序
  • 往前拆分子表达式得到 85-4/, 712+-
  • 排序 "712+-" < "85-4/"， 得到 712+-85-4/
  • 做拆分的运算符位置都保持不变，得到 712+-85-4/*（中缀表达式为 (7-(1+2)) * ((8-5)/4)）

交换导致违反尽可能左结合的简单情况

这种情况在上面已经说过，还是简单罗列一下：

• 假设已经产生的表达式：23+1
• 当前生成 + -> 23+1+（中缀表达式为 2+3+1）
• 加法可交换，因此要拆分其左右表达式树，做排序
  • 往前拆分子表达式得到 23+, 1
  • 排序 "1" < "23+"， 得到 123+
  • 做拆分的运算符位置都保持不变，得到 123++ （中缀表达式为 1+(2+3)）

显然这不是我们所希望发生的，因为这将阻碍我们想简单通过后缀表达式来判断重复。怎么处理这种情况，上面也已经说了，这里也简单列出：

• 加法可交换，因此要拆分其左右表达式树，做排序
  • 往前拆分子表达式得到 23+, 1，23+ 是 + 运算，与当前产生的运算符相同，所以要继续对这个子表达式做拆分，得到以下子表达式：
    • 2,3,1
  • 排序 "1" < "2" < "3"， 得到 123
  • 做拆分的运算符位置都保持不变，得到 12+3+ （中缀表达式为 1+2+3）

同样，当前生成*时，子表达式为 * 运算时，也要继续拆分。

交换导致违反尽可能左结合的稍复杂情况

其实将上一个例子中的1,2,3替换成复杂的子表达式即可，需要注意的是，我们每一次生成+或*都要进行上述操作，所以在假设已经产生的表达式时，要符合上述规则调整后的情况。