zoj 1525 Air Raid 有向无环图的最小路径覆盖(匹配)

题目大意:先解释有向无环图的路径覆盖,在图中找一些不相交的简单路径,使之覆盖图中所有顶点,且每一顶点只有一条路径与之关联,也就是说,若沿着这些路径中每条路径从起点走到终点,则可以恰好经过图中每一个顶点一次且仅一次。该题是求最小路径覆盖,即使得路径条数最小。

题中的限制在顶点,将图转换为二分图,每个顶点v拆为v*和v**,若在图中存在从u到v的有向边,则在二分图中连接一条从u*到v**的边。则有公式:最小路径覆盖数=节点数n-该二分图匹配数。

现在来证明:在原图中先选择所有顶点,若在二分图中添加一条匹配边<v*,u**>,则v与u被并到了一条路径上,所以路径覆盖数可以减少1,继续添加,直到不存在匹配边为止,因此,二分图上的每条匹配边与原图的路径上的某条有向边对应,相反,对于原图的路径上的每条边,对应到二分图上也组成一个匹配,若不是匹配,则存在某顶点与多条边关联,不符合路径覆盖定义。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 500
int g[N][N],mk[N],cx[N],cy[N];
int ans,n;

int path(int u)
{
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(g[u][i]&&!mk[i])
		{
			mk[i]=1;
			if(cy[i]==-1||path(cy[i]))
			{
				cx[u]=i;
				cy[i]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

void solve()
{
	int i;
	memset(cx,-1,sizeof(cx));
	memset(cy,-1,sizeof(cy));
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(cx[i]==-1)
		{
			memset(mk,0,sizeof(mk));
			ans+=path(i);
		}
}

int main()
{
	int i,x,y,t,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		ans=0;
		scanf("%d",&n);
		scanf("%d",&m);
		memset(g,0,sizeof(g));
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			g[x][y]=1;
		}
		solve();
		printf("%d\n",n-ans);
	}
	return 0;
}


 

 

 

posted @ 2013-11-12 13:32  贝尔摩德  阅读(188)  评论(0编辑  收藏  举报