线性筛

线性筛

Eratosthenes 筛法 (埃氏筛)

时间复杂度$O(n\log\log n)$

具体实现不用多说，就是把每个数的倍数都筛去，剩下的就是质数。

代码略。

欧拉筛

时间复杂度$O(n)$

在埃氏筛中，我们观察到$6$既被$2$筛了一次，又被$3$筛了一次，这样导致时间严重浪费。

欧拉筛就对此进行了优化：每个数只会被它最小的质因子筛一次。

我们先看看代码

 这里的优化就是代码中的

if (i % prime[j] == 0)
    break;

 为什么这样做正确呢？

设$i=k\cdot prime[j]$，那么$i\cdot prime[j+1]=(k\cdot prime[j+1])\cdot prime[j]$，会重复。

故在此处停止循环。

线性筛求$\varphi$和$\mu$

由于$\varphi$和$\mu$均为积性函数，所以可以使用线性筛来解决

当处理到

if (i % prime[j] == 0)
    break;

对于$\mu[i]$来说，出现了平方因子，所以$\mu[i]=0$

对于$\varphi[i]$来说，因为其通项公式为

$$\varphi(n)=\prod_{i=1}^{t}(p_i-1)p_i^{k_i-1}=\prod_{i=1}^{t}(1-\frac{1}{pi})p_i^{k_i}=n\prod_{i=1}^{t}(1-\frac{1}{pi})$$

可以发现质因子的出现次数与$$\prod_{i=1}^{t}(1-\frac{1}{pi})$$无关

故直接乘上即可

剩余情况直接根据积性函数的定义来即可

int N, prime[1500005], tot = 0, isp[2000005], phi[2000005], mu[2000005], sump[2000005], summ[2000005];
void prework()
{
    phi[1] = 1, mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {
        if (!isp[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            phi[i] = i - 1;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; j++)
        {
            isp[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                mu[i * prime[j]] = mu[i] * mu[prime[j]];
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
            }
        }
    }
}