鸽巢原理及其扩展——Ramsey定理

第一部分：鸽巢原理

咕咕咕！！！

然鹅大家还是最熟悉我→

a数组：but 我也很重要

$：我好像也出现不少次

以上纯属灌水

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文章简叙：鸽巢原理对初赛时的问题求解以及复赛的数论题目都有启发意义。直接的初赛考察一般在提高组出现。相当于抽屉。

别名：鸽笼原理。狄利克雷抽屉原理。

最简单的一种形式：有$m+1$只鸽子，$m$个笼子，那么至少有一个笼子有至少两只鸽子。当然，换个角度来说：有$m-1$只鸽子，$m$个笼子，那么至少有一个笼子是空的。

初级加强：有$m$个笼子，$k*m+1$只鸽子，那么至少有一个笼子有至少$k+1$只鸽子。

高级加强：令

• $a_1,a_2,a_3...a_m$

• 为正整数。

• $if$ 我们将

• $a_1+a_2+a_3+...+a_n-n+1$

• 个鸽子放入$n$个笼子里，$then$，

||第一个笼子至少有$a_1$只鸽子||第二个笼子至少有$a_2$只鸽子||第三个笼子至少有$a_3$只鸽子||…||第$m$个笼子至少有$a_m$只鸽子

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鸽巢原理的应用

一位洛谷$oier$要用$12$周的时间准备$~~CTSC~~$,为了练习，他每天至少要刷一题，因为题目有难度，他每星期刷题无法超过$13$题。请你证明：存在连续的若干天期间，这位$oier$恰好刷了$11$题

开始证明：

1.我们可以令$a_1$表示第一天所刷的题数，$a_2$表示前两天所刷的题数，$a_3$表示前三天所刷的题数.之后以此类推

2.而题目说，由于每天都要至少刷1题，所以数列

• $a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_{84}$

• 严格递增。另有$a_1>=1$.又每周最多刷13题，故$a_{84}<=13*12=156$.

3.因此又有：

• $1<=a_1<a_2<a_3<...<a_{84}<=156$.

4.同理，

• $a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 同样是一个严格递增序列。范围：

• $12<=a_1+11<a_2+11<a_3+11<...<a_{84}+11<=167$

5.我们把两个序列合起来看：

• $a_1,a_2,a_3,...,a_{84},a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 一共$168$个数。其中每一个数都是$1$到$167$之间的一个整数。

6.根据鸽巢原理可得，其中必有两个数相等！！！

7.既然

• $a_1,a_2,a_3,...,a_{84}$

• 中必然无相等的两个数，

• 那么$a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 中同理。那么，必然存在一个$x$和一个$y$,使得

• $a_x=a_y+11$;

8.从而得出结论：这个$oier$在第

• $y+1,y+2,y+3,...,x$

• 天内一共刷了$11$道题

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应用二

证明：在边长为$2$的等边三角形中放上$5$个点。则至少存在两个点，他们之间的距离小于等于$1$.

1.我们先画出一个边长为$2$的等边三角形。

2.然后把三条边中点两两相连。就形成了这张图。

3.那么根据鸽巢原理，必然有两个点在一个边长为$1$的小三角形里。

4.而我们知道，边长为$1$的等边三角形里处处距离都小于等于$1$

5.于是问题就解决了

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应用三

已知$n+1$个正整数，它们全都小于或等于$2n$，证明当中一定有两个数是互质的。

1.要证明这个问题，我们就要利用一个互质的特性：两个相邻整数互质。

2.有了这个突破口，于是我们可以构造n个鸽巢，每一个里依次放入

• $1,2,3,...,2n$

• 这2n个数中的两个数。

3.也就是说，我们要在这其中取出$n+1$个数。

4.根据鸽巢原理，无论如何，我们都会抽空一个鸽巢。

5.一个鸽巢中的两个数肯定互质，所以问题就解决了。

扒栗史：匈牙利大数学家厄杜斯(PaulErdous,1913 - 1996) 向当年年仅$11$岁的波萨(LouisPósa)提出这个问题，而小波萨思考了不足半分钟便能给出正确的答案。

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有趣的小（leng）知（xiao）识（hua）：
山东高考$2017$年有$54$万人。而人的头发大约有$8-12$万根。那么必然有两人的头发数量相同。

好了，现在来一道初赛真题收（dian）心(di):

【NOIP2010 提高组】记$T$为一队列，初始时为空，现有n个总和不超过$32$的正整数依次入队，如果无论这些数具体为什么值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列$T$中的数之和恰好为$9$，那么$n$的最小值是_______________

1.第一眼看到此题，蒟蒻就知道自己只能根据结果推过程了

2.刚开始看了一眼答案：$18$.

3.于是就根据这个开始推导过程。我们可以令$a_i$表示前$i$个数的和，并约定：$a_0=0$.

4.题目要求求出最小的$n$，使得存在$0<=x<y<=n$满足$a_y=a_x+9$;

5.于是我们可将$a$数组看做鸽子，用不能同时取的一组（差为$9$）的集合构造笼子，

6.构造方法如下：一共有$n=18$个集合按此方式选取：

• ${0,9}、{1,10}、{2,11}、...、{8,17}、{18,27}、{19,28}、{20,29}、...、{23,32}、{24}、{25}、{26}$。

7.由题意可知，我们一旦在某个集合中取了两个元素，$then$ 一定存在某个时刻队列$T$中数的总和恰好为$9$.

8.于是由鸽巢原理，我们可以得知：$n=18$一定满足条件.

但是题目要让我们求出最小值，为了保险起见（都看答案了还保什么险）：

1.我们还要证明一下$n=17$不可行。

2.然鹅我们只需要举出反例即可：

• 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1

3.说明：因为每到了$8$个$1$就被$10$隔断，故不可行。

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第二部分：Ramsey定理

扒栗史：此定理由Frank Plumpton Ramsey（弗兰克·普伦普顿·拉姆齐，$1903-1930$）提出.

• 此定理有一个广为流传的例子：6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。

• 转换：该定理等价于证明这6个顶点的完全图的边，用红、蓝二色任意着色，必然至少存在一个红色边三角形，或蓝色边三角形

证明如下：

1、首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。

2、设：如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。

3、由鸽巢原理可知：这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD为红色。若BC或CD为红色，则结论显然成立。若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色，则一定有三个人相互认识；若BD为蓝色，则一定有三个人互相不认识。

以下部分正在补充，本文未完成

后记：部分内容来自于一本通