极限与连续（二）

合集 - 高等数学(2)

1.极限与连续（一）2024-11-19

2.极限与连续（二）2024-11-20

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函数的连续性

定义：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)⟺f(x)\text{在}{x}_0$处连续。

例题 若$f(x)=\{\begin{array}{ll}a+b{x}^2,& \text{if }x\le 0\\ \frac{\sin bx}{x},& \text{if }x>0\end{array}$，在$x=0$处连续，则a，b的关系为什么？
解：
因$f(x)$在分段点$x=0$处连续，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=f(0)$。

当$x=0$时，$f(0)=a$，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=a$。

所以$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin bx}{x}=a$，而$\sin bx\sim bx$，所以结果$b=a$。

函数的间断点

定义：
间断点：不连续的点即间断点（一般都是没有定义的点和分段点）。

第一类间断点

特点：左右极限均存在
可去间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)\ne f(x_0)$。
跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$。

无穷间断点

特点：$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}=\mathrm{\infty }$。只要有一侧趋于无穷，就是无穷间断点。

振荡间断点

特点：间断点两侧被函数无限振荡趋近。
例如：$\sin \frac{1}{x},\cos \frac{1}{x}$。

例题 函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点有几个？

解：
先判断有多少个无定义点，分母为0无定义，可解得：$x=0,x=\pm 1,x=\pm 2...$。

从无定义点中找到可去间断点：
当$x\to 0$，$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-x^2}{\pi }=\frac{1}{\pi }$，极限存在，所以是可去间断点。

当$x\to 1$，$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-x^2}{\sin \pi x}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{-2x}{\pi \cos \pi x}=\frac{2}{\pi }$，极限存在，所以是可去间断点。

类似的，-1也是可去间断点。

但+2，-2，+3，-3经计算可得知为无穷间断点：
当$x\to 2$，$\underset{x\to 2}{lim}f(x)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\mathrm{\infty }\to x=2$为无穷间断点。

因此该函数的可去间断点有三个。