极限与连续(一)
一、函数极限七种类型题:
1.常见的等价无穷小
2. 型 或 型( 型和 型)
采用洛必达法则:
如果两次求导都无法求出结果建议更换方法
在处理
在处理
接下来介绍抓大头:
当
则
简单而言,谁增长速度快,就取谁,其他的项都丢掉
例题(1)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,无穷小替换+洛必达法则
方法1,仅使用洛必达法则:
方法2,使用了无穷小替换+洛必达法则:
例题(2)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,无穷小替换+洛必达法则
例题(3)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,洛必达法则
列题(4)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,变形+洛必达法则
例题(5)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,变形+洛必达法则
3. 型
以下是公式推导过程:
由于e是初等函数,lim可以和e交换位置:
由于
最后一个式子替换到倒数第二个式子中即可得到万能公式的结果。
另外两个类型直接使用抬底法,即:
因为此处的
例题(1)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,使用万能公式
例题(2)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,使用抬底法
例题(3)
解:
第一步,检查题目类型:
第二步,使用抬底法
二、数列极限
1.夹逼准则求数列极限
定义:对于数列
对于求n项和的数列极限:我们使用放缩法+夹逼准则。
例题 设数列
解:
第一步,放缩:
将所有项的分母变为最小的值,分母越小,整体越大。
将所有项的分母变为最大的值,分母越大,整体越小。
第二步,求两边数列极限值:
我们可以发现:
2.根据递推公式求数列极限
例题 设
(1)证明:
解:
第一步,证明单调性
而
所以
第二步,证明数列有界
因为
总结第一步和第二步,根据数列单调有界必有极限,可以知道
(2)求
解:
因为极限存在,设
而
由此可得结果:
本文作者:VellyKiey
本文链接:https://www.cnblogs.com/vellynia/p/18555627
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