DP优化

一、单调队列优化

很简单，对于 \(dp_i=\min (A_j+B_i)\) 的状态转移方程，可以丢进单调队列，时间复杂度 \(O(n)\)。

二、斜率优化

如果是对于 \(dp_i=\min(A_i\cdot B_j+C_i+D_j)\) 的状态转移方程，就单调队列不了了，因为有一项同时存在 \(i\) 和 \(j\)。

我们考虑把不和 \(j\) 有关的都丢到等式右边，那左边要么就只和 \(j\) 有关，要么和 \(i\)、\(j\) 都有关。

考虑这样的一次函数 \(y=k\cdot x+b\)，稍微移项可得 \(b=y-k\cdot x\)，所以我们把只跟 \(i\) 有关的都看做 \(b\)，只跟 \(j\) 有关的看做 \(y\)，同时跟 \(i\) 和 \(j\) 有关的看做 \(k\cdot x\)。

对于上面那个式子，我们先写成 \(f_i-C_i=\min(A_i\cdot B_j+D_j)\)，所以 \(b=dp_i-C_i\)，\(x=B_j\)，\(y=D_j\)，\(k=A_i\)。因为 \(C_i\) 是定值，所以使 \(dp_i\) 最小即使 \(b\) 最小，图像如下：

也就是你每次确定一个 \(k_i\) 以后，需要寻找一个过某个点的该斜率的线，使得截距 \(b\) 最小，观察图像，这条线必然过是两条斜率分别小于 \(k_i\) 和大于 \(k_i\) 的直线的交点，用个单调队列维护这个凸包即可。

具体维护方法：

设第 \(i\) 个点和第 \(j\) 个点连接的直线方程斜率为 \(k(i,j)\)。

1、对于队首元素，由于维护的是一个凸包，所以 \(k\) 随着 \(i\) 的增加是单调的，把 \(k(q_j,q_{j+1})<k_i\) 的 \(j\) 都弹出；

2、这条直线最先碰到的必然是最下面那个点，即队首的点，用队首转移即可；

3、对于队尾元素，同样的，因为维护的是一个凸包，所以凹进去的部分要弹出去，即弹出所有 \(k(q_{j-1},q_j)>k(q_{j},q{j+1})\) 的 \(j\) 即可。

e.g. [HNOI2008] 玩具装箱

三、WQS二分

对于有限制的 \(dp\)，比如 [Luogu P4983] 忘情。

状态转移方程很容易得到，即 \(dp_i=\min(dp_j+(s_i-s_j+1)^2)\)，\(s\) 表示 \(a\) 数组的前缀和，很显然如果没有只能分 \(m\) 段的限制，这就是个斜率优化的简单题，然而这里有一个限制，我们画出分成的段数与 \(ans\) 的图像，很显然在 \(m\) 取到最值时，这个图像是个凸的（否则你可以随便合并两个嘛），并且最高点得是 \(m\)，考虑画图分析。

我们画一些斜率为 \(k\) 的线，观察每一条线 \(y=k\cdot x+b\)，移项得 \(b=y-k\cdot x\)，那么我们要使得 \(x=m\) 时截距 \(b\) 最大，然后我们惊奇地发现，\(b_i\) 只是 \(y_i\) 即 \(dp_i\) 减去了 \(x\) 个 \(k\)，也就是把转移式改成 \(dp_i=\min(dp_j+(s_i-s_j+1)^2)-k\) 即可。

我们二分 \(k\)，便可以得到答案。