DP优化

一、单调队列优化

很简单，对于 $dp_i=\min (A_j+B_i)$ 的状态转移方程，可以丢进单调队列，时间复杂度 $O(n)$。

二、斜率优化

如果是对于 $dp_i=\min(A_i\cdot B_j+C_i+D_j)$ 的状态转移方程，就单调队列不了了，因为有一项同时存在 $i$ 和 $j$。

我们考虑把不和 $j$ 有关的都丢到等式右边，那左边要么就只和 $j$ 有关，要么和 $i$、$j$ 都有关。

考虑这样的一次函数 $y=k\cdot x+b$，稍微移项可得 $b=y-k\cdot x$，所以我们把只跟 $i$ 有关的都看做 $b$，只跟 $j$ 有关的看做 $y$，同时跟 $i$ 和 $j$ 有关的看做 $k\cdot x$。

对于上面那个式子，我们先写成 $f_i-C_i=\min(A_i\cdot B_j+D_j)$，所以 $b=dp_i-C_i$，$x=B_j$，$y=D_j$，$k=A_i$。因为 $C_i$ 是定值，所以使 $dp_i$ 最小即使 $b$ 最小，图像如下：

也就是你每次确定一个 $k_i$ 以后，需要寻找一个过某个点的该斜率的线，使得截距 $b$ 最小，观察图像，这条线必然过是两条斜率分别小于 $k_i$ 和大于 $k_i$ 的直线的交点，用个单调队列维护这个凸包即可。

具体维护方法：

设第 $i$ 个点和第 $j$ 个点连接的直线方程斜率为 $k(i,j)$。

1、对于队首元素，由于维护的是一个凸包，所以 $k$ 随着 $i$ 的增加是单调的，把 $k(q_j,q_{j+1})<k_i$ 的 $j$ 都弹出；

2、这条直线最先碰到的必然是最下面那个点，即队首的点，用队首转移即可；

3、对于队尾元素，同样的，因为维护的是一个凸包，所以凹进去的部分要弹出去，即弹出所有 $k(q_{j-1},q_j)>k(q_{j},q{j+1})$ 的 $j$ 即可。

e.g. [HNOI2008] 玩具装箱

三、WQS二分

对于有限制的 $dp$，比如 [Luogu P4983] 忘情。

状态转移方程很容易得到，即 $dp_i=\min(dp_j+(s_i-s_j+1)^2)$，$s$ 表示 $a$ 数组的前缀和，很显然如果没有只能分 $m$ 段的限制，这就是个斜率优化的简单题，然而这里有一个限制，我们画出分成的段数与 $ans$ 的图像，很显然在 $m$ 取到最值时，这个图像是个凸的（否则你可以随便合并两个嘛），并且最高点得是 $m$，考虑画图分析。

我们画一些斜率为 $k$ 的线，观察每一条线 $y=k\cdot x+b$，移项得 $b=y-k\cdot x$，那么我们要使得 $x=m$ 时截距 $b$ 最大，然后我们惊奇地发现，$b_i$ 只是 $y_i$ 即 $dp_i$ 减去了 $x$ 个 $k$，也就是把转移式改成 $dp_i=\min(dp_j+(s_i-s_j+1)^2)-k$ 即可。

我们二分 $k$，便可以得到答案。

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本文作者：Foraino0267
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