AGC001 D-F

AGC001D

题意：给你一个数列 \(a\)，你需要构造一个数列 \(b\)，使得同时满足这两个条件的数列只能所有元素相等：
1、前 \(a_1\) 个数回文，接着 \(a_2\) 个数回文，再接着 \(a_3\) 个数回文……
2、前 \(b_1\) 个数回文，接着 \(b_2\) 个数回文，再接着 \(b_3\) 个数回文……
无解输出 Impossible。
题解：
1、对于开头的一段，有下面两种情况（红色表示数列 \(a\) 的限制，绿色表示数列 \(b\) 的限制，后同）：

2、对于中间的一段，有下面一种情况：

3、对于最后的一段，与开头的情况对称，懒得画了。

根据图很容易发现，只有开头和结尾的 \(a\) 可能为奇数，奇数超过两个就无解，在以内就丢首尾就行了。

\(b\) 根据图就是开头比 \(a\) 多 \(1\)，结尾比 \(a\) 少 \(1\)，中间一样的，注意特判 \(a\) 长度为 \(1\) 和 \(b\) 的最后一位为 \(0\)。

AGC001E

题意：求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}{a_i+b_i+a_j+b_j \choose a_i+a_j} \]

题解：考虑 \({a+b \choose a}\) 是从 \((0,0)\) 走到 \((a,b)\) 且每一步只能往上或往右走一个单位长度的方案数。

显然这题就是让我们求所有从 \((0,0)\) 走到 \((a_i+a_j,b_i+b_j)\) 的方案数，显然我们可以考虑平移，因为平移这个矩形以后大小不变，所以答案也不变。

那我们可以平移成求所有从 \((-a_i,-b_i)\) 走到 \((a_j,b_j)\) 的方案数的和，但是如果直接算复杂度是和暴力没有区别的，所以我们考虑设 \(dp[i][j]\) 为所有的 \((-a_i,-b_i)\) 走到 \((i,j)\) 的方案数的和，因为答案要求从 \(i+1\) 开始，所以要减去所有的 \({2a_i+2b_i \choose 2a_i}\) ，然后将答案除以 \(2\) 即可。

AGC001F

题意：给一个 \(1\) ~ \(n\) 的排列 \(p\) 和一个数 \(k\)，两个数 \(p_i\)、\(p_j\) 可以交换当且仅当 \(|i-j|\ge k\) 且 \(|p_i-p_j|=1\)，求交换后字典序最小的排列。

题解：考虑 \(p\) 的逆置换 \(q\)，然后发现对于 \(|q_i-q_j|<k\) 的两个位置 \(i\)、\(j\)，这两个位置上的值不可能被交换，也就是他们的相对位置是固定的。

还原到 \(p\)，也就是对于 \(|i-j|<k\) ，两个位置的大小关系是不变的，从小到大建个DAG，然后就是求给这个DAG编号后，最小的拓扑排序的序列。

我们建反图，跑拓扑，然后按照 \(N\) ~ \(1\) 标号，显然不可能真的建图，复杂度爆炸，我们考虑线段树（树状数组也行）维护这个图，发现用线段树存进所有 \(p\) 以后，\(p_i\) 的值等于 \((i-k,i+k)\) 之间的最大值时，度数为 \(0\)，用一个堆装这些度数为 \(0\) 的点，删掉以后就设为 \(-\infty\)，一直这样直到每个点都被删掉就做完了。