PTA-7-1 最大子列和问题

为什么要开始记录刷题笔记呢？

因为发现自己经常在做完很多题目之后并没有总结和反思，所以才会忘得很快，所以从现在开始把所有值得记录的东西，经过自己思考的东西都记录下来，写成博客。

题目：

给定K个整数组成的序列{ N1, N2, ..., N**K }，“连续子列”被定义为{ N**i, N**i+1, ..., N**j }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

输入：
输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出：

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

这道题是一道非常经典的动态规划的题目，有关动态规划可以点击查看文章。

动态规划时间复杂度为 O（n）的解法：

首先设置一个数组 dp[]，dp[i] 代表以 A[i] 为结尾的连续序列和的最大和。于是通过设置这么一个数组，最大连续子序列和的和辨识数组 dp[] 中的最大值。

由于 dp[i] 是以 A[i] 作为结尾的连续序列的最大和，因此只有两种情况：

最大和的连续序列只有一个元素，即 A[i] 本身，也就是说 dp[i] = A[i]
最大和的连续序列 dp[i] = A[j] + A[j+1] +... + A[i] ，即从前面某个 A[j] 开始一直到 A[i] 结束，如何获得 A[j] +...+A[i-1] 呢？回头看看 dp 定义，dp[i-1]就是从 A[j]+...+A[i-1] 的值，即 dp[i] = dp[i-1] + A[i]

综合上面两种情况，得到了状态转移方程：

dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i])

从需要将 i 从小枚举并且依次遍历，就可以得到整个 dp 数组，接着输出该数组中的最大值，就可以得到最大连续子序列和。

具体实现如下：

/*
    Author: Veeupup
    最大子列和问题

    动态规划，用 dp[i] 代表以 A[i] 结尾的最大子序列的和
    状态转移方程：
    dp[i] = max( A[i], dp[i-1]+A[i])

 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdint>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1e5+5;
int A[maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
    freopen("data.txt","r", stdin);
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {   // 读取 A[i]
        scanf("%d", &A[i]);
    }
    dp[0] = A[0];
    int maxAns = dp[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
        if(dp[i] > maxAns) {
            maxAns = dp[i];
        }
    }
    printf("%d", maxAns);
    return 0;
}