动态规划-最大连续子序列和
动态规划-最大连续子序列和
最大连续子序列问题如下:
给定一个数字序列,A1,A2,A3,......,An,求 i,j ( 1<= i,j <= n ),使得Ai+......+Aj 最大,输出这个最大和。
这个问题如果使用暴力法,枚举左端点 i 和右端点 j ,需要 O(n2)的时间复杂度,再计算 A[i] + ... + A[j] 需要 O(n),总复杂度为 O(n3)。就算采用前缀和的方式,也需要 O(n2)的复杂度。方法并没有错,但是时间复杂度太大,所以当数据量大时无法很好的完成任务。
动态规划时间复杂度为 O(n)的解法:
首先设置一个数组 dp[],dp[i] 代表以 A[i] 为结尾的连续序列和的最大和。于是通过设置这么一个数组,最大连续子序列和的和辨识数组 dp[] 中的最大值。
由于 dp[i] 是以 A[i] 作为结尾的连续序列的最大和,因此只有两种情况:
- 最大和的连续序列只有一个元素,即 A[i] 本身,也就是说 dp[i] = A[i]
- 最大和的连续序列
dp[i] = A[j] + A[j+1] +... + A[i]
,即从前面某个 A[j] 开始一直到 A[i] 结束,如何获得A[j] +...+A[i-1]
呢?回头看看 dp 定义,dp[i-1]
就是从A[j]+...+A[i-1]
的值,即dp[i] = dp[i-1] + A[i]
综合上面两种情况,得到了状态转移方程:
dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i])
从需要将 i 从小枚举并且依次遍历,就可以得到整个 dp 数组,接着输出该数组中的最大值,就可以得到最大连续子序列和。
具体实现如下:
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
int dp[1000010]; // 动态规划
int a[1000010]; // 记录数组
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main()
{
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
}
dp[0] = a[0];
int ans = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i] = max(a[i], dp[i-1] + a[i]); // 递推公式
if(dp[i] > ans) {
ans = dp[i]; // 保存最大值
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
输入:
5
1 5 -3 2 4
6
1 -2 3 4 -10 6
4
-3 -1 -2 -5
输出:
9
7
-1