骨牌(/棋子?)覆盖问题

来自《组合数学》第一章内容。

棋子覆盖问题

完美覆盖：无重复无遗漏地覆盖。

1.引入问题：求一个多米诺骨牌对一个8*8方格图完美覆盖的方案数。拓展成n*m呢。

这题是不是可以编程解决啊，是不是有点眼熟啊，是不是感觉在哪见过呀。

互讲的时候豆哥的题跟这有点像啊。

详情请见未填完坑的mon...（状压dp/搜索）

2.求一个多米诺骨牌（二格牌）对一个n*m的图形完美覆盖的充要条件。

多米诺骨牌是二格牌，即由两个格子构成的牌牌。

如果能将这张方格图覆盖，我们不妨假设用了k张骨牌来拼凑，那么易得出式子：n*m = 2*k。

n和m中必有一个是偶数（有二这个因子）。

以上口头简要证明了：若能完美覆盖则n,m必有一个是偶数；下面证明若n或m中有一个是偶数，则n*m的方格图一定能被完美覆盖。

其实非常地显然，我们可以轻易构造出一种满足完美覆盖的图，不妨假设n为偶，n = 2*k，则在n这一行横着平铺k个多米诺骨牌，高度为一。

我们只需继续这样平铺下去即可。无论m为奇数或偶数，都能满足完美覆盖。

从数学的角度讲以上证明是灰常不严谨的，但是OI不需要证明，我们感性理解就好。（OI真是个好东西。。。

3.我们继续扩展问题，求一个b格牌对n*m的方格图完美覆盖的充分必要条件。

b格牌就是由b个格子构成的牌牌。（长b宽1）

众所粥资，组合数学的证明离不开数学归纳法，而数学归纳法离不开猜想。（个人认为数学归纳法真的是挺奇妙的，明明是猜出来的，然后就能骗过去了（猜的是错的有时也能证明对））然后我们猜一下这题的结论吧，猜不出来举几个栗子在纸上画画图什么的，找找规律。

猜想：b格牌对n*m方格图完美覆盖的充分必要条件是b|n*m.

我觉得证明有点容易有点显然有点套路，我能不能不证啊。

4.我们定义一个n*m方格图能被一个b格图同一方向（就是都横着或者都竖着）完美覆盖成为平凡完美覆盖。而每一个b格图能满足n*m方格完美覆盖的，都具有完美平凡覆盖。这个性质非常的显然，详情请看第三。

抱歉我有点懒。

大噶动动笔哈。

然后我就在思考另一个问题了（一下才是真正的问题）：如何编程求出对于一个n*m方格图，能用b格牌完美覆盖的方案数。